całkowanie numeryczne światła w grawitacji

Wedle Wielkiej Teorii Względności obowiązuje tzw. wzór Schwarzschilda:

w przypadku światła: dtau = 0, a poza tym jest to zawsze w płaszczyźnie, więc otrzymujemy prostsze równanie:

I co to ma być - jak to teraz wyliczyć numerycznie? :)

I najpierw się zastanowić co tu chcesz wyliczyć, albo czy może wykres narysować?
To nie jest 2+2 żeby miało jedną odpowiedź.

było, temat do zamknięcia, a autor łapie warna za teorie z czarnej listy (hehe)

a to patrzyłeś? https://www.matematyka.pl/410145.htm

kamillapinski napisał(a):

Czy to jest kwadratowe równanie różniczkowe z dwiema funkcjami w postaci uwikłanej, czy jest tych funkcji jeszcze więcej? W każdym razie wygląda mi to na problem, który trzeba najpierw skierować na jakieś forum matematyczne. Jak wrócisz z gotowym wzorem całki, ew. z rozwinięciem jej w szereg, to będzie można to spokojnie zaprogramować :)

To jest całkowanie w sensie wyliczania całek z zadanej funkcji, np. w stylu int exp^x^2dx, lecz równanie różniczkowe.

Azarien napisał(a):

I najpierw się zastanowić co tu chcesz wyliczyć, albo czy może wykres narysować?
To nie jest 2+2 żeby miało jedną odpowiedź.

Rozwiązaniem rr. jest funkcja, zatem w tym przypadku trajektoria, po której leci światło: r = r(f);
co jest w 2D, więc równoważne z: y = f(x) - równanie krzywej, albo i czasowo - parametrycznie: y = y(t), i x = x(t);

Dobra, popatrzmy:

• mamy jedno równanie różniczkowe,
• w tym równaniu mamy pochodne i różniczki argumentów kilku funkcji,
• zagadnienie dotyczy zaawansowanych zagadnień z fizycznych i matematycznych,
• chcesz wyliczyć coś numerycznie. Co dokładnie? Wartość którejś z funkcji dla danego argumentu?

Jeśli chcesz wiedzieć, cytując post, co to ma być, to tutaj raczej nie otrzymasz odpowiedzi :) Ew. otrzymasz taką, jak moja pierwsza odpowiedź - że jest to równanie różniczkowe.

Dlatego polecam zrobić tak:

• zadaj odpowiednie pytanie na forum matematycznym,
• sprecyzuj, co chcesz osiągnąć, jaki wzór wydobyć z tego równania,
• wróć do nas z gotowym wzorem funkcji, którą chcesz scałkować numerycznie, obliczyć jej wartość dla jakiegoś parametru czy co tam możesz chcieć z nią zrobić.
  Wtedy będziemy mogli pomóc.

exp4 napisał(a):

kamillapinski napisał(a):

Czy to jest kwadratowe równanie różniczkowe z dwiema funkcjami w postaci uwikłanej, czy jest tych funkcji jeszcze więcej? W każdym razie wygląda mi to na problem, który trzeba najpierw skierować na jakieś forum matematyczne. Jak wrócisz z gotowym wzorem całki, ew. z rozwinięciem jej w szereg, to będzie można to spokojnie zaprogramować :)

To jest całkowanie w sensie wyliczania całek z zadanej funkcji, np. w stylu int exp^x^2dx, lecz równanie różniczkowe.

Ma być 'nie jest'.

Przykładowo:
y = x, i teraz całka z tego to 1/2 x^2;

a teraz to samo, ale w wersji równania różniczkowego:
y' = 1; i plus kondycja: y(0) = 0

rozwiązaniem jest tu: y = x, czyli linia prosta.

inne przypadki:
y' = y -> y = Ae^x, A - zależy od punktu startu, np.: y(x=0) = 1.

a teraz takie coś:
y' = y*x + y^2/sin(y); [plus warunek początkowy, np.: y(x=0) = 1; ]

tego już raczej nie damy rady rozwiązać dokładnie - algebraicznie, no ale numerycznie nadal nie będzie z tym problemu!

kamillapinski napisał(a):

Dobra, popatrzmy:

• mamy jedno równanie różniczkowe,
• w tym równaniu mamy pochodne i różniczki argumentów kilku funkcji,
• zagadnienie dotyczy zaawansowanych zagadnień z fizycznych i matematycznych,
• chcesz wyliczyć coś numerycznie. Co dokładnie? Wartość którejś z funkcji dla danego argumentu?

Jeśli chcesz wiedzieć, cytując post, co to ma być, to tutaj raczej nie otrzymasz odpowiedzi :) Ew. otrzymasz taką, jak moja pierwsza odpowiedź - że jest to równanie różniczkowe.

Dlatego polecam zrobić tak:

• zadaj odpowiednie pytanie na forum matematycznym,
• sprecyzuj, co chcesz osiągnąć, jaki wzór wydobyć z tego równania,
• wróć do nas z gotowym wzorem funkcji, którą chcesz scałkować numerycznie, obliczyć jej wartość dla jakiegoś parametru czy co tam możesz chcieć z nią zrobić.
  Wtedy będziemy mogli pomóc.

Przecież mówię co chcę wyliczyć: trajektorię światła.

Warunek startowy może być tu dowolny, np. taki: r(t=0) = współrzędne Ziemi względem Słońca, czyli x = 150 mln km, y = 0.
drugi warunek - kąt początkowy: f0 = R/x = 0.7/150 = ?
gdzie R = promień Słońca, czyli strzelamy, np. laserem tak prawie na styk obok Słońca.

Rozwiązaniem ma być krzywa po której ten laser poleci:r(f), albo i dokładna funkcja -> r(t) = (x(t),y(t));
z tej drugiej mogę sobie wyliczyć ile czasu będzie leciało światło do Słońca, no i dalej nawet, np. do Marsa, który jest akurat widoczny obok Słońca - na linii strzału.

Z kwadratowym równaniem nie poradzisz sobie?
Przecież to podstawówka: y'^2 = f(y,x) -> y' = +/-sqrt f.

Rozwinięcie w szereg potęgowy też będzie OK - kamillapinski 11 minut temu

Szereg czego - tej szukanej funkcji w rr?
Jest taki sposób, ale raczej marny - dobry tak na początek... no ale dawaj: zrób ten szereg. :)

Jeśli dtau = 0, to wzór jest trochę inny niż wyliczyłeś poniżej, dokładniej w miejscu gdzie jest fi powinna być theta.

No i, łaskawie opisz co która zmienna opisuje.

enedil napisał(a):

No i, łaskawie opisz co która zmienna opisuje.

Trajektoria leży w płaszczyźnie, stąd tylko dwie zmienne: r i f - to jest układ wsp. biegunowych.
Możesz to sobie przerobić na tradycyjne: x,y, oczywiście: x = rcosf; y = rsinf.

Ważne tematy @exp4 ale zastanawiam się, czy to jest prawdziwe. Zastanawiają mnie te całe zakrzywienia czasoprzestrzeni. Czy np. wszystko nie jest jednak liniowe, a te zakrzywienia czasoprzestrzeni w badaniach wychodzą przez zakrzywienia urządzeń teleoptycznych, itp... W końcu idealne chyba nie są ?? :) Jeżeli chodzi o fizykę, to mam słabą wiedzę i intuicję, ale na chłopski rozum to wydaje mi się, że da się to wszystko prościej. Wolę jednak programowanie niż nurkowanie np. w morzu tensorów :)

hurgadion napisał(a):

Ważne tematy @exp4 ale zastanawiam się, czy to jest prawdziwe. Zastanawiają mnie te całe zakrzywienia czasoprzestrzeni. Czy np. wszystko nie jest jednak liniowe, a te zakrzywienia czasoprzestrzeni w badaniach wychodzą przez zakrzywienia urządzeń teleoptycznych, itp... W końcu idealne chyba nie są ?? :) Jeżeli chodzi o fizykę, to mam słabą wiedzę i intuicję, ale na chłopski rozum to wydaje mi się, że da się to wszystko prościej. Wolę jednak programowanie niż nurkowanie np. w morzu tensorów :)

Przecież to równanie jest całkiem płaskie, co widać: ono mieści się bez problemu na ekranie monitora. :)

a może tak spróbujmy: podzielmy to przez dt^2, a wtedy otrzymamy:

no a to tam na końcu: rf' = r df/dt = r.w = v_t - prędkość styczna znana z ruchu po okręgu, chyba?
Natomiast: r' = v_r - to jest przecież prędkość radialna.

Pełna prędkość jest sumą obu składowych:
v = v_r + v_t, jako suma wektorów prostopadłych, czyli: v^2 = vr^2 + vt^2

Zatem mamy chyba wszystko - dwa równania i dwie zmienne.. chyba.

exp4 napisał(a):

Wedle Wielkiej Teorii Względności obowiązuje tzw. wzór Schwarzschilda:

w przypadku światła: dtau = 0, a poza tym jest to zawsze w płaszczyźnie, więc otrzymujemy prostsze równanie:

I co to ma być - jak to teraz wyliczyć numerycznie? :)

A ja bym powiedział, że nie potrzebujesz całki numerycznej, tylko jakiejś metody numerycznego rozwiązywania RR, choćby Rungego-Kutty. Jak już będziesz miał numeryczne rozwiązanie to możesz sobie całkować aż Ci uszami pójdzie :) albo przepuścić to przez WolframAlpha albo matematyka.pl i całkować rozw. analityczne jeśli Ci na nim bardzo zależy

superdurszlak napisał(a):

exp4 napisał(a):

Wedle Wielkiej Teorii Względności obowiązuje tzw. wzór Schwarzschilda:

w przypadku światła: dtau = 0, a poza tym jest to zawsze w płaszczyźnie, więc otrzymujemy prostsze równanie:

I co to ma być - jak to teraz wyliczyć numerycznie? :)

A ja bym powiedział, że nie potrzebujesz całki numerycznej, tylko jakiejś metody numerycznego rozwiązywania RR, choćby Rungego-Kutty. Jak już będziesz miał numeryczne rozwiązanie to możesz sobie całkować aż Ci uszami pójdzie :) albo przepuścić to przez WolframAlpha albo matematyka.pl i całkować rozw. analityczne jeśli Ci na nim bardzo zależy

Metod numerycznych do rozwiązywania równań różniczkowych to ja akurat mam z 50 sztuk - od Eulera, poprzez Verleta, RK4,5, 6,7, 8, plus kilka 16 rzędu, i 20 też,
i jeszcze z symplektycznych z 10 odmian, no i gradientowych jeszcze kilka rodzajów.

Dobra, z metod numerycznych jesteście za słabi, aby to ugryźć.

Zatem mam super zadanie w sam raz dla programistów:

mamy równanie:

co po wyliczeniu czasu dt daje:

co można sobie scałkować:

czyli mamy proste równanie na czas przelotu światła, z dowolnego punktu r0=A do r1=B...

A jak wiadomo od starożytności światło leci po minimalnej drodze, czyli czas t ma być tu minimalny z możliwych.
Zatem wystarczy sobie utworzyć siatkę w płaszczyźnie, np. milion x milion - coś jak mapa bitowa,
no i przejść zwyczajnie po tej sieci, sumując czasy wedle tego wzoru, tak aby suma była minimalna.

Do dzieła.

exp4 napisał(a):

Metod numerycznych do rozwiązywania równań różniczkowych to ja akurat mam z 50 sztuk - od Eulera, poprzez Verleta, RK4,5, 6,7, 8, plus kilka 16 rzędu, i 20 też,
i jeszcze z symplektycznych z 10 odmian, no i gradientowych jeszcze kilka rodzajów.

To może bądź tak dobry, zaloguj się i podziel tą wiedzą rozbudowując kompendium, a nuż się komuś przyda.

Chyba, że to jakaś wiedza tajemna, a Twoim celem jest jedynie uzmysłowienie żałosnym programistom, jak miałkie są ich umysły i jak niegodni są noszenia miana nerdów. Jeśli tak, to cel już chyba osiągnąłeś, pochylamy z pokorą głowy, a wątek właściwie można zamknąć.

Masz super metodę 2-go rzędu:
T(h):
r += v(r)h/2; // teraz trzeba wyliczyć: a(r) = f(r), czyli r'', co zwykle jest podane równaniem Newtona, np.: a = -GM/r^2 * r^0
v += ah; //
r += v(r)*h/2; //

A teraz robimy z tego metodę 4-go rzędu, za pomocą ekstrapolacji!

co wygląda tak:
-1/3 T(h) + 4/3 T(h/2);

zatem wystarczy obliczyć dwa razy to samo, ale z różnym krokiem: raz h, czyli: T(h),
a potem drugi raz z krokiem: h/2, czyli: T(h/2).

Metoda 8-go rzędu:
1/360 T(h) - 16/45 T(h/2) + 729/280 T(h/3) - 1024/218 T(h/4)

exp4 napisał(a):

Wedle Wielkiej Teorii Względności obowiązuje tzw. wzór Schwarzschilda:

w przypadku światła: dtau = 0, a poza tym jest to zawsze w płaszczyźnie, więc otrzymujemy prostsze równanie:

I co to ma być - jak to teraz wyliczyć numerycznie? :)

Zakładasz że w 4-wymiarowej czasoprzestrzeni światło porusza się w płaszczyźnie? :) Wybacz mi ignorancję fizyczną, ale czy nie jest to wbrew modelowi jakim posługują się fizycy?

yarel napisał(a):

exp4 napisał(a):

Wedle Wielkiej Teorii Względności obowiązuje tzw. wzór Schwarzschilda:

w przypadku światła: dtau = 0, a poza tym jest to zawsze w płaszczyźnie, więc otrzymujemy prostsze równanie:

I co to ma być - jak to teraz wyliczyć numerycznie? :)

Zakładasz że w 4-wymiarowej czasoprzestrzeni światło porusza się w płaszczyźnie? :) Wybacz mi ignorancję fizyczną, ale czy nie jest to wbrew modelowi jakim posługują się fizycy?

Przecież nie ma innego sposobu opisu ruchu w płaszczyźnie, od zapisu matematycznego w płaszczyźnie. :)

Może tak wystarczy zrobić aby rozwiązać:

przyjmujemy tradycyjne zachowanie momentu pędu, czyli takie coś:
r^2.df/dt = h; (tzw. prędkość polowa)
co jest stałe, ale nas w ogóle nie interesuje wartość tego h, więc możemy sobie podstawić cokolwiek, np. h = 1;

co można już rozwiązywać numerycznie, jako układ równań, znaczy tak tak to wyliczamy:

Plus punkt startu, np.: r0 = d = 150 mln km, i lekki kącik (celujemy tuż obok Słońca): f0 = 0.7/150;
a = 2GM/c^2 = 3 km

Można próbować co z tego wyjdzie, np. sprawdzić to słynne ugięcie Einsteina: 2a/R = 1.7arcsec

no właśnie mnie te ugięcia interesują, a może to wynika z nieregularności orbity ?? przecież żadna planeta nie jest chyba idealną kulą ?? tam muszą być też jakieś lekkie korekty orbity :) zresztą taki Mt Everest też lekko pewnie znieszktałca orbitę, no chyba, że lekko uprawiam s-f :) znam się na tej Teorii jak kura na pieprzu :) - hurgadion dziś, 16:25

To nie jest temat o orbitach planet, a tylko o trajektorii światła w grawitacji.

Niemniej kształt, czy też deformacje planety, nie ma wpływu na jej orbitę.
Gdy wrzucisz, np. siekierę na orbitę, ona tak samo poleci jak idealna kula.

Generalnie: środek masy ciała leci równiutko po elipsie (prawie idealnej).

W przypadku Ziemi tak nie jest, bo ona ma dowiązany dość duży Księżyc,
co znaczy że środek masy Ziemia+Księżyc leci tu dość równo po elipsie,
no a sama Ziemia faluje sobie jakby po tej elipsie - w promieniu około 5 tys. km.. i z okresem Księżyca, czyli 30 dni około.

przyjmujemy tradycyjne zachowanie momentu pędu, czyli takie coś:
r^2.df/dt = h; (tzw. prędkość polowa)
co jest stałe, ale nas w ogóle nie interesuje wartość tego h, więc możemy sobie podstawić cokolwiek, np. h = 1;

co można już rozwiązywać numerycznie, jako układ równań, znaczy tak tak to wyliczamy:

Plus punkt startu, np.: r0 = d = 150 mln km, i lekki kącik (celujemy tuż obok Słońca): f0 = 0.7/150;
a = 2GM/c^2 = 3 km

Można próbować co z tego wyjdzie, np. sprawdzić to słynne ugięcie Einsteina: 2a/R = 1.7arcsec

Sprawdzam podobne wyliczenia w podręczniku do fizyki, a tam autor podobnie kombinuje, ale przyjmuje: h = oo - nieskończoność!
co znaczy że foton ma nieskończony moment orbitalny gdy biegnie w pobliżu Słońca... hehe!

I w ten fantastyczny sposób otrzymał poprawne ugięcie światła: df = 2a/R = 4GM/c^2R!

Zatem jestem ciekaw co wyjdzie z mojej - szalonej hipotezy: h = 1, zaledwie. :)

Co ja gadam!?
Przecież prędkość polowa jest tu konkretna: h = r x v = rv sin(f) = r v_t;
więc: h =~ c sin(f0) = c R/d;

No to może podam finalne wynik - dla entuzjastów.

Poprawna wersja jest nieco prostsza, i wygląda tak:

<tex>r'^2 = (1-a/r)^2 (1 - h^2/r^2)[/tex]
i plus druga współrzędna:
<tex>r^2d\phi/dt = h (1-a/r)[/tex]

co można wyliczyć numerycznie bez problemu.

Wyniki dla Słońca, czyli wstawiając: a = 3km, albo lepiej w sekundach: 1e-5s, oraz promień Słońca: R = 2.3s, co jest tu potrzebne;
a wtedy h = R, po prostu.

• ugięcie światła: 1.77 sekundy kątowej, czyli OK.
• no a rozjazd czasu przelotu - tzw. opóźnienie Shapiro, i do Marsa wynosi: 212 us (mikro sekund),
  które zmierzono jako 250us... no cóż - jaka teoria, takie też i pomiary. :)

co zresztą łatwo można naprawić: odległość do Marsa jest faktycznie nieco większa - około 250-212 = 38 us, co w kilometrach daje około:
11.4 km błędu współczesnych astronomów... no, zatem i tak całkiem nieźle jak na amatorów. :)

i plus druga współrzędna - kąt:

co można wyliczać numerycznie bez problemu.

Wyniki dla Słońca, czyli wstawiając: a = 3km, albo lepiej w sekundach: 1e-5s, oraz promień Słońca: R = 2.3s, co jest tu potrzebne; a wtedy h = R, po prostu.

1. ugięcie światła: 1.77 sekundy kątowej, czyli OK.

2. no a rozjazd czasu przelotu - tzw. opóźnienie Shapiro, i do Marsa wynosi: 212 us (mikro sekund),
   które zmierzono jako 250us... no cóż - jaka teoria, takie też i pomiary. :)

Ale to łatwo można uzasadnić i naprawić: odległość do Marsa jest/była faktycznie nieco większa - około 250-212 = 38 us,
co w kilometrach daje około: 11.4 km błędu współczesnych astronomów... no, zatem i tak całkiem nieźle jak na amatorów. :)

i plus druga współrzędna - kąt:

to drugie ma być:
r^2d\phi/dt = h (1-a/r)^0.5;