Granica ciągu (-1)^n

0

W jaki sposób pokazać formalnie, że ciąg
a^n, a =< -1
nie ma limitu?
Dla |a| < 1 można znaleźć M od epsilona (z definicji limitu ciągu) i będzie to coś w stylu M(epsilon) = log o podstawie |a| z epsilona.
Dla a > 1 można pokazać M(K) = log o podstawie a z K.
Korzystając z formalnej definicji limitu ciągu, w jaki sposób pokazać, że dla a =< -1 taki ciąg nie ma limitu?
Można by pokazać, że nie ma M od epsilona (zbieżny) i M od 'K' (rozbieżny), w sensie, że szukając tych wartości pojawi się jakaś sprzeczność. Oczywiście można powiedzieć słownie, że albo oscyluje między 1 a -1 albo oddala się od 0 z każdym następnym wyrazem, a że znak oscyluje, to nie biegnie to którejś z nieskończoności. Jakie podejście tutaj zastosować?

edytowany 1x, ostatnio: bogdans
Althorion
Moderator C/C++
  • Rejestracja:prawie 10 lat
  • Ostatnio:około 11 godzin
  • Postów:1603
1

O jaki ciąg Ci chodzi? W tytule masz a[n] = (-1)^n, w tekście się pojawia jakieś a^n i dziwny zapis =<. Czy chodziło o ≤, czyli <=? Skoro tak, to co potem robi rozpatrywanie a > 1?

W każdym razie, na podstawie ostatniego akapitu zdanie wygląda tak, że najłatwiej Ci będzie znaleźć dwa podciągi zbieżne do innych wartości, co przeczy zbieżności wyjściowego ciągu (wszystkie podciągi ciągu zbieżnego mają tę samą granicę — o właśnie, po polsku mowa o granicy, nie limicie).

Shalom
  • Rejestracja:około 21 lat
  • Ostatnio:prawie 3 lata
  • Lokalizacja:Space: the final frontier
  • Postów:26433
2

Możesz pokazać ze nie spełnia warunku Cauchego, tzn elementy ciagu nie zbliżają się do siebie -> https://pl.wikipedia.org/wiki/Ciąg_Cauchy’ego bo akurat w R^n z metryką euklidesową każdy ciag zbieżny musi spełniać to kryterium.


"Nie brookliński most, ale przemienić w jasny, nowy dzień najsmutniejszą noc - to jest dopiero coś!"
Zobacz pozostały 1 komentarz
Althorion
Nie kłamiesz. Co więcej, w każdej przestrzeni metrycznej ciągi zbieżne muszą spełniać warunek Cauchy’ego. W drugą stronę (tzn. ciągi Cauchy’ego muszą być zbieżne) tylko w zupełnych, ale akurat ℝⁿ z euklidesową jest zupełne.
bogdans
@Shalom, sprawdzam działanie powiadomień. nie dostałem powiadomienia o Twoim komentarzu.
Althorion
@bogdans: tak sobie sprawdzisz, jeśli @Shalom ma obserwowanie na tym poście (a ma domyślnie, bo to jego post). Na razie zawołałeś także i mnie (mam obserwowanie domyślnie włączone, bo post skomentowałem).
Shalom
@bogdans hmm dostałem teraz powiadomienie o komentarzu do postu, bo jest mój. Dodaj może komentarz pod swoim postem i tam mnie zamałpuj?
bogdans
@Althorion, oznacza to, że "przywoływanie" do wątku nie działa. Nie mogłem wcześniej ustawić obserwowania, bowiem wątku nie widziałem
bogdans
Moderator
  • Rejestracja:prawie 17 lat
  • Ostatnio:prawie 5 lat
1

Ciąg a^n jest zbieżny (w **R **) dla liczb a z przedziału (-1;1]. Zakładam zatem, że chodzi o liczby a <= -1 lub a > 1. Jeżeli a = -1, to ciąg (-1)^n zawiera podciąg zbieżny do 1 (n parzyste), zawiera też podciąg zbieżny do -1 (n nieparzyste). Jak już pisał @Althorion, wynika stąd, że ciąg (-1)^n nie ma granicy. Dla pozostałych liczb a ciąg a^n jest nieograniczony => nie jest zbieżny.


To smutne, że głupcy są tak pewni siebie, a ludzie mądrzy - tak pełni wątpliwości. Bertrand Russell
Kliknij, aby dodać treść...

Pomoc 1.18.8

Typografia

Edytor obsługuje składnie Markdown, w której pojedynczy akcent *kursywa* oraz _kursywa_ to pochylenie. Z kolei podwójny akcent **pogrubienie** oraz __pogrubienie__ to pogrubienie. Dodanie znaczników ~~strike~~ to przekreślenie.

Możesz dodać formatowanie komendami , , oraz .

Ponieważ dekoracja podkreślenia jest przeznaczona na linki, markdown nie zawiera specjalnej składni dla podkreślenia. Dlatego by dodać podkreślenie, użyj <u>underline</u>.

Komendy formatujące reagują na skróty klawiszowe: Ctrl+B, Ctrl+I, Ctrl+U oraz Ctrl+S.

Linki

By dodać link w edytorze użyj komendy lub użyj składni [title](link). URL umieszczony w linku lub nawet URL umieszczony bezpośrednio w tekście będzie aktywny i klikalny.

Jeżeli chcesz, możesz samodzielnie dodać link: <a href="link">title</a>.

Wewnętrzne odnośniki

Możesz umieścić odnośnik do wewnętrznej podstrony, używając następującej składni: [[Delphi/Kompendium]] lub [[Delphi/Kompendium|kliknij, aby przejść do kompendium]]. Odnośniki mogą prowadzić do Forum 4programmers.net lub np. do Kompendium.

Wspomnienia użytkowników

By wspomnieć użytkownika forum, wpisz w formularzu znak @. Zobaczysz okienko samouzupełniające nazwy użytkowników. Samouzupełnienie dobierze odpowiedni format wspomnienia, zależnie od tego czy w nazwie użytkownika znajduje się spacja.

Znaczniki HTML

Dozwolone jest używanie niektórych znaczników HTML: <a>, <b>, <i>, <kbd>, <del>, <strong>, <dfn>, <pre>, <blockquote>, <hr/>, <sub>, <sup> oraz <img/>.

Skróty klawiszowe

Dodaj kombinację klawiszy komendą notacji klawiszy lub skrótem klawiszowym Alt+K.

Reprezentuj kombinacje klawiszowe używając taga <kbd>. Oddziel od siebie klawisze znakiem plus, np <kbd>Alt+Tab</kbd>.

Indeks górny oraz dolny

Przykład: wpisując H<sub>2</sub>O i m<sup>2</sup> otrzymasz: H2O i m2.

Składnia Tex

By precyzyjnie wyrazić działanie matematyczne, użyj składni Tex.

<tex>arcctg(x) = argtan(\frac{1}{x}) = arcsin(\frac{1}{\sqrt{1+x^2}})</tex>

Kod źródłowy

Krótkie fragmenty kodu

Wszelkie jednolinijkowe instrukcje języka programowania powinny być zawarte pomiędzy obróconymi apostrofami: `kod instrukcji` lub ``console.log(`string`);``.

Kod wielolinijkowy

Dodaj fragment kodu komendą . Fragmenty kodu zajmujące całą lub więcej linijek powinny być umieszczone w wielolinijkowym fragmencie kodu. Znaczniki ``` lub ~~~ umożliwiają kolorowanie różnych języków programowania. Możemy nadać nazwę języka programowania używając auto-uzupełnienia, kod został pokolorowany używając konkretnych ustawień kolorowania składni:

```javascript
document.write('Hello World');
```

Możesz zaznaczyć również już wklejony kod w edytorze, i użyć komendy  by zamienić go w kod. Użyj kombinacji Ctrl+`, by dodać fragment kodu bez oznaczników języka.

Tabelki

Dodaj przykładową tabelkę używając komendy . Przykładowa tabelka składa się z dwóch kolumn, nagłówka i jednego wiersza.

Wygeneruj tabelkę na podstawie szablonu. Oddziel komórki separatorem ; lub |, a następnie zaznacz szablonu.

nazwisko;dziedzina;odkrycie
Pitagoras;mathematics;Pythagorean Theorem
Albert Einstein;physics;General Relativity
Marie Curie, Pierre Curie;chemistry;Radium, Polonium

Użyj komendy by zamienić zaznaczony szablon na tabelkę Markdown.

Lista uporządkowana i nieuporządkowana

Możliwe jest tworzenie listy numerowanych oraz wypunktowanych. Wystarczy, że pierwszym znakiem linii będzie * lub - dla listy nieuporządkowanej oraz 1. dla listy uporządkowanej.

Użyj komendy by dodać listę uporządkowaną.

1. Lista numerowana
2. Lista numerowana

Użyj komendy by dodać listę nieuporządkowaną.

* Lista wypunktowana
* Lista wypunktowana
** Lista wypunktowana (drugi poziom)

Składnia Markdown

Edytor obsługuje składnię Markdown, która składa się ze znaków specjalnych. Dostępne komendy, jak formatowanie , dodanie tabelki lub fragmentu kodu są w pewnym sensie świadome otaczającej jej składni, i postarają się unikać uszkodzenia jej.

Dla przykładu, używając tylko dostępnych komend, nie możemy dodać formatowania pogrubienia do kodu wielolinijkowego, albo dodać listy do tabelki - mogłoby to doprowadzić do uszkodzenia składni.

W pewnych odosobnionych przypadkach brak nowej linii przed elementami markdown również mógłby uszkodzić składnie, dlatego edytor dodaje brakujące nowe linie. Dla przykładu, dodanie formatowania pochylenia zaraz po tabelce, mogłoby zostać błędne zinterpretowane, więc edytor doda oddzielającą nową linię pomiędzy tabelką, a pochyleniem.

Skróty klawiszowe

Skróty formatujące, kiedy w edytorze znajduje się pojedynczy kursor, wstawiają sformatowany tekst przykładowy. Jeśli w edytorze znajduje się zaznaczenie (słowo, linijka, paragraf), wtedy zaznaczenie zostaje sformatowane.

  • Ctrl+B - dodaj pogrubienie lub pogrub zaznaczenie
  • Ctrl+I - dodaj pochylenie lub pochyl zaznaczenie
  • Ctrl+U - dodaj podkreślenie lub podkreśl zaznaczenie
  • Ctrl+S - dodaj przekreślenie lub przekreśl zaznaczenie

Notacja Klawiszy

  • Alt+K - dodaj notację klawiszy

Fragment kodu bez oznacznika

  • Alt+C - dodaj pusty fragment kodu

Skróty operujące na kodzie i linijkach:

  • Alt+L - zaznaczenie całej linii
  • Alt+, Alt+ - przeniesienie linijki w której znajduje się kursor w górę/dół.
  • Tab/⌘+] - dodaj wcięcie (wcięcie w prawo)
  • Shit+Tab/⌘+[ - usunięcie wcięcia (wycięcie w lewo)

Dodawanie postów:

  • Ctrl+Enter - dodaj post
  • ⌘+Enter - dodaj post (MacOS)