Ustawiamy 12 elektronów równiutko na sferze o promieniu 1, czyli na wierzchołkach dwudziestościanu foremnego.
I teraz chcę obliczyć z jaką siłą jest odpychany każdy elektron.
Potrafi ktoś to wyliczyć?
Ustawiamy 12 elektronów równiutko na sferze o promieniu 1, czyli na wierzchołkach dwudziestościanu foremnego.
I teraz chcę obliczyć z jaką siłą jest odpychany każdy elektron.
Potrafi ktoś to wyliczyć?
Jako że układ jest idealnie symetryczny to wystarczy że policzysz sobie to dla dowolnego elektronu, bo dla każdego innego wartość będzie taka sama.
równiutko na sferze?
Ustawiamy 12 elektronów równiutko na sferze o promieniu 1, czyli na wierzchołkach dwudziestościanu foremnego.
Jeśli umieszczasz dwanaście na wierzchołkach dwudziestościanu, to przydałoby się sprecyzować: na których wierzchołkach.
@Azarien przykro mi ale dwudziestościan foremny ma 12 wierzchołków ;)
http://pl.wikipedia.org/wiki/Dwudziestościan_foremny
Tak? możliwe. Nie mam pod ręką. Choć kiedyś często miałem do czynienia z 20-ścienną kostką.
Trzeba policzyć wektory (kierunek i odległość) każdego z 11 pozostałych wierzchołków.
Trochę trygonometrii... a na pewno ktoś te wzory już kiedyś powyprowadzał.
12-ścian ma 20 wierzchołków, a 20-ścian ma 12, bo one są dualne do siebie, jak 8-ścian i 6-ścian;
ostatni z foremnych jest 4-ścian, i on sam do siebie dualny.
Mam takie schemat:
A
----B 5 - tu jest pięciokąt
/ tu jest kąt tgf = 1/2,
O
----x 5 - drugi pięciokąt ale obrócony o 36 stopni
x
Z tego wyliczamy bok - odległość: x - x u góry.
Najpierw wsp. wierzchołka B,
tg f = y/x = 1/2, i r2 = x2 + y^2 = 1,
co daje: 2 is5, i is5, gdzie: is5 = 1 / pierwiastek z 5
z tego już można wyliczyć bok:
a = AB i będzie to: a2 = (1 - y)2 + x^2 = 2(1 - is5)
I co dalej... potrzebujemy cos kąta tej siły z B na A, w stosunku do promienia w A.
siła z pięciu bliższych będzie równa F = 5 * /a^2 * cos(OAB),
pozostaje sześć, albo tylko 5, bo ten na dole działa na A z siłą 1/2^2 = 1/4.
....
Potem potrzebuję jeszcze obliczyć trochę więcej elektronów na sferze - 24 sztuki... na 38-ścianie. :)
Dobra pojedziem dalej
A
|f1\ a
|....
|----B
|.f2
O....
|......
|-----K LMNQ
|
|
Z
Kąt przecież już mamy:
cosf1 = (1-y)/x = (1-is5)/(2is5) = (s5 - 1) / 2 = phi... O! bardzo fajny kąt.
może lepiej od razu przejdźmy na phi: s5 = 2phi + 1, wtedy bok 20-ścianu będzie:
sqr(a) = 2(1 - 1/s5) = 2(1 - 1/(2phi+1)) = 4phi/(2phi+1) = 4 / (Phi + 2)
zatem siła z tych pięciu bliższych elektronów wynosi:
F5 = 5/a2 phi = 5 * (Phi + 2)/4 * phi = 5/4 (1 + 2phi)
......
Teraz drugi pięciokąt:
odległość w pionie: 2y + (1-y) = 1+y, a w poziomie to samo: x
d2 = (1+1/s5)2 + (2/s5)2 = 2(1 + 1/s5) = 2(1 + 1/(2phi+1)) = 4 Phi/(2phi+1) = ...
i ten kącik: cosf2 = (1+y)/x = (1+is5)/(2is5) = (s5 + 1) / 2 = Phi... phiiiiiiii!
zatem kolejna seria 5-ciu sił:
F5' = 5 * 1/d2 cosf2 = 5 (2phi+1)/4Phi Phi = 5/4 (2phi+1) = F5... dziwne, to samo wychodzi!
I jeszcze ta ostatnia: 1/4, więc w sumie:
F = 5/2 (2phi+1) + 1/4 = 5.84
coś skopałem bo cosinus raczej nie może być równy Phi = 1.618...
repulsor napisał(a):
Dobra pojedziem dalej
A
|f1\ a
|....
|----B
|.f2
O....
|......
|-----K LMNQ
||
ZKąt przecież już mamy:
cosf1 = (1-y)/x = (1-is5)/(2is5) = (s5 - 1) / 2 = phi... O! bardzo fajny kąt.może lepiej od razu przejdźmy na phi: s5 = 2phi + 1, wtedy bok 20-ścianu będzie:
sqr(a) = 2(1 - 1/s5) = 2(1 - 1/(2phi+1)) = 4phi/(2phi+1) = 4 / (Phi + 2)zatem siła z tych pięciu bliższych elektronów wynosi:
F5 = 5/a2 phi = 5 * (Phi + 2)/4 * phi = 5/4 (1 + 2phi)......
Teraz drugi pięciokąt:
odległość w pionie: 2y + (1-y) = 1+y, a w poziomie to samo: x
d2 = (1+1/s5)2 + (2/s5)2 = 2(1 + 1/s5) = 2(1 + 1/(2phi+1)) = 4 Phi/(2phi+1) = 4Phi/(2Phi-1) = 4/(2-phi)i ten kącik: cosf2 = (1+y)/x = (1+is5)/(2is5) = (s5 + 1) / 2 = Phi... phiiiiiiii!
zatem kolejna seria 5-ciu sił:
F5' = 5 * 1/d2 cosf2 = 5 (2phi+1)/4Phi Phi = 5/4 (2phi+1) = F5... dziwne, to samo wychodzi!I jeszcze ta ostatnia: 1/4, więc w sumie:
F = 5/2 (2phi+1) + 1/4 = 5.84
ostatni atak... niż żeby ostatni, znowu :)
1 - y = 1-1/(2phi+1) = 2phi/(2phi + 1) = 2/(2+Phi)
a = 2 / sqrt(Phi + 2)
cosf1 = (1-y)/a = 2/(2+Phi) sqrt(Phi + 2)/2 = 1/sqrt(2+Phi)
i drugi 5-cioraczek
1 + y = 1+1/(2phi+1) = 2Phi/(2phi + 1) = 2Phi/(2Phi-1) = 2/(2-phi)
d = 2/sqrt(2-phi)
cosf = (1+y)/d
F5' = 5 1/d22 (1+y)/d = 5(1+y)/d3 = 5 2/(2-phi) (2-phi)1.5/8 = 5/4 sqrt(2-phi)
i sumujemy:
F = F5 + F5' + 1/4 = 5/4 [sqrt(2+Phi) + sqrt(2-phi)] + 1/4 = 4.0971
goldenolgia stosowana :)
Zarejestruj się i dołącz do największej społeczności programistów w Polsce.
Otrzymaj wsparcie, dziel się wiedzą i rozwijaj swoje umiejętności z najlepszymi.