Witam! Jutro mam sprawdzian z ciągów geometrycznych. (jestem w 2kl mat-fiz w LO) Mam problem. Prez ostatnie parę dni byłem bardzo zajęty - m.in. uczestniczyłem w Ogólnopolskim konkursie MKI 2005 (zająłem w nim 3 miejsce nie chwaląc się ;P ) i opuściłem lekcje matematyki... a tu jutro sprawdzian i ja nie mogę zrozumieć na czym polega funkcja lim.
Czy ktoś mógłby mi wyjaśnić jej istotę i po co ona w ogóle istnieje? Jak się jej używa i w jakich przypadkach?
Byłbym wdzięczny...
lim (limes) to nie funkcja. Symbolem tym oznaczamy granice ciagu lub funkcji, gdy jego wyrazy zmierzaja do jakiejsc wartosci (opisanej pod znakiem lim)...
przy\kładowo. Gdy mamy dany ciag (an) o wyrazie obolnym an=1/n, to lim przy n-> nieskonczonosci z (an) jest rowny 0. [ lim[n-> inf] (an) = 0 ]
inny przykład, niech nasze an= {1,2, 3 .... n}
to lim [n - > inf] (an) = + inf
Wielkie dzięki! Już coś rozumiem!
A co do stosowania? Mógłbyś coś napisać? Czyli do czego się ją stosuje w praktyce ?
spin napisał(a)
... granicę ciagu lub funkcji ...
Ciąg to też funckja ;)
Ciąg to funkcja określona na zbiorze liczba naturalnych (tzn. jej argumentami [x'ami] są liczby naturalne)
Granice służą do sprawdzenia czy ciąg jest skończony czy nie, zbieżny czy rozbieżny
Zbieżny - zbiega do jednej konkretnej wartości np. lim(n->)[An] = 5)[An] = +~
Rozbieżny - limes dąży do nieskończoności np. lim(n->
Jak masz np. zadanie: Policzyć sumę wszystkich wyrazów ciągu gdzie wzór ciągu określony jest przez jakieś An a n=~ (nieskończoność). Najpierw liczysz granicę ciągu i sprawdzasz czy istnieje i czy jest określoną liczbą:
Jeżeli tak - to znaczy że da się policzyć sumę wszystkich wyrazów bo kiedyś ciąg się kończy
Jeżeli nie - to znaczy że się nie da policzyć sumy
//Dopisane
Mając np. ciąg:
An = (1+1/X)X (X - do potęgi X)
gdzie za X podstawiasz cokolwiek to granicą ciągu jest liczba e (~2,72), ale warunkiem jest żeby X mianowniku i X w wykładniku potęgi były TAKIE SAME [!!!]
Zbieżny - zbiega do jednej konkretnej wartości np. lim(n->
)[An] = 5)[An] = +~
Rozbieżny - limes dąży do nieskończoności np. lim(n->
a taki ciąg an = (-1)^n * n ?
chyba możemy powiedzieć jedynie że po prostu jest rozbieżny.
Najpierw liczysz granicę ciągu i sprawdzasz czy istnieje i czy jest określoną liczbą:
Jeżeli tak - to znaczy że da się policzyć sumę wszystkich wyrazów bo kiedyś ciąg się kończy
Jeżeli nie - to znaczy że się nie da policzyć sumy
sume możesz zawsze policzyć - jakies bzdury piszesz
ciag może mieć granice (w cale sie nie kończy ) i mieć sume nieskończoną na plusie lub minusie i tak samo z rozbieżny.
sume możesz zawsze policzyć - jakies bzdury piszesz
owszem, sume, ale wyrazow ciagu geometrycznego, gdzie iloraz jest mniejszy od 1; zreszta wyobraz sobie ciag rozbiezny do nieskonczonosci, np an=n+1, policz mi sume ;) a w wypadku an=0,2*n jest to juz mozliwe
w takich sprawach proponuje zajrzeć do tablic mat. niektórzy mają jakiś krzywy obraz matematyki i głoszą herezje :D
suma może być nieskończona i to nie oznacza że jej nie ma co by wynikało z niektórych wypowiedzi, albo że nie można jej obliczyć- aż sie smutno robi jak sie to czyta :|
Generalnie przy szeregach geometrycznych rozbieżnych do +/- nieskończoności nie liczy się sumy.
Chciałbym jeszcze zaznaczyć, że granica wcale nie służy do określania czy ciąg geometryczny jest zbieżny czy też nie. Do tego służy twierdzenie, że ciąg jest zbieżny, jeżeli |q|<1.
kolejny heretyk.... może to szczegół ale nie jest to zawsze takie oczywiste:
ciag geometryczny jest także zbieżny jeśli jego pierwszy element wynosi 0
rozwiązywałem kiedyś próbną mature i właśnie za przeoczenie tego przypadku można było stracić 1-2p czyli 2-4% !!!
gaborek napisał(a)
kolejny heretyk....
Wytłumacz proszę.
gaborek napisał(a)
ciag geometryczny jest także zbieżny jeśli jego pierwszy element wynosi 0
A czy ja temu przeczę?
wychodzę z założenia ze twierdzenie niepełne jest błędne, Koniec
gaborek napisał(a)
wychodzę z założenia ze twierdzenie niepełne jest błędne, Koniec
Twierdzenie jest pełne Panie matematyku...
a że tak się spytam: co ma piernik do wiatraka? Ciąg jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy |q|<1 lub a1=0 (suma szeregu jest równa 0).
q - iloraz
a1 - pierwszy wyraz ciągu