Badam od kilku dni problem obliczenia objętości części wspólnej
dwóch powierzchni danych równaniami uwikłanymi.
Okazuje się że czasami trudno zdefiniować obszar całkowania.
Przykład - dwa walce:
x2 + (z-r)2 = r^2 - walec o promieniu r, oś równoległa do osi y i przechodząca przez punkt (0,0,r)
y2 + z2 = r^2 - podobny walec, ale o osi pokrywającej się z osią x
Walce te przenikają się w taki sposób, że jeden wgryza się do połowy grubości drugiego.
Obszar całkowania (rzut części wspólnej na płaszczyznę poziomą XY) jest jakąś skomplikowaną figurą,
chyba czwartego stopnia (taki kwadrat o zaokrąglonych rogach).
Jak to przeskoczyć - jakaś parametryzacja, twierdzenia całkowe (Greena, itp.)?
Jest metoda montecarlo (losowe strzelanie w regularny obszar o znanej objętości,
zawierający obszar całkowania, wtedy V = liczba trafien/liczba strzałów * Vs),
jest to wolno zbieżne - rzędu sqrt(N) - może zna ktoś sposób przyspieszenia,
np. jakiś specjalny wariant metody Romberga?
Jest jeszcze aproksymacja, zwłaszcza trygonometryczna (dwuwymiarowa) wygląda dobrze,
ale nie mogę oszacować błędu (nie ma nigdzie podanej reszty dla interpolacji/aproks. tryg.,
brak wskazówek jak to obliczyć)
Pa!