Metoda prostokątów

Naszym zadaniem jest obliczyć całkę oznaczoną z funkcji f(x) metodą prostokątów. Polega ona na przybliżeniu pola pod wykresem polami prostokątów:

Zauważmy, iż wysokość prostokąta jest równa wartości naszej funkcji w połowie przedziału, zaś szerokość jest identyczna dla każdego czworokąta i jest równa h. Pole takiego prostokąta jest równe:

gdzie p, k to odpowiednio początek i koniec przedziału, w którym mieści się prostokąt.

Ale jak wyznaczyć wartość h? To proste - dzielimy nasz obszar całkowania (górna granica minus dolna granica) na t części i powstaje nam szerokość prostokąta równa h. Czyli po prostu:

Teraz wystarczy policzyć t takich prostokątów. Pierwszy prostokąt zajmuje przedział [a, a+h]; drugi zaczyna się tam, gdzie skończył się pierwszy i ma szerokość h: [a+h, a+2h]; trzeci [a+2h, a+3h] i tak dalej. Jesteśmy więc w stanie policzyć przybliżoną wartość wyrażenia.

Przykład

Liczymy całkę funkcji f(x) = x² od 0 do 1 (która jest równa dokładnie 1/3).

Dzielimy na prostokąty

Dzielimy nasz obszar [0, 1] na 3 równe prostokąty; pierwszy będzie zajmował zakres [0, 1/3], drugi [1/3, 2/3], a trzeci [2/3, 1]. Parametr h jest równy (1-0) / 3 = 1/3.

Liczymy pola prostokątów

Prostokąt I jest na obszarze [0, 1/3], czyli środek to 1/6. f(1/6) = 1/36, więc pole równe jest h * f(1/6) = 1/108. Prostokąt II jest na obszarze [1/3, 2/3], środek to 1/2. f(1/2) = 1/4, więc pole jest równe h * f(1/2) = 1/12 Prostokąt III zajmuje obszar [2/3, 1], środek to 5/6. f(5/6) = 25/36, więc pole jest równe h * f(5/6) = 25/108.

Sumujemy pola

Sumujemy pola prostokątów: 1/108 + 1/12 + 25/108 = 35/108

Błąd pomiaru

Po przybliżeniu trzema prostokątami otrzymujemy pole 35/108, tymczasem pole rzeczywiste wynosi 1/3 = 36/108. Błąd pomiaru wynosi więc 1/108. Gdybyśmy użyli większej liczby prostokątów, otrzymalibyśmy lepsze przybliżenie.

Implementacja w C++

Poniższa implementacja dla podanej liczby prostokątów (t) podaje wartość całki f(x) = cos od 0 do 1 i wyznacza błąd pomiaru.

#include <cstdio>
#include <cmath>

using namespace std;

int main(){
  printf("Poniższy program policzy całkę:\n\n");
  printf(" 1\n");
  printf(" ==\n");
  printf(" |\n");
  printf(" |  cos(x) dx   =   0.841470984807\n");
  printf(" |\n");
  printf("==\n");
  printf(" 0\n\n");
  printf("Podaj liczbę prostokątów (t): ");
  int t;
  scanf("%i", &t);
  
  //min = 0, max = 1, h = (max - min) / t  =  1/t
  double min = 0.0;
  double polozenie, wartosc, calka = 0.0;
  double h = 1.0/t;
  //wykonujemy t kroków
  for(int i = 0; i < t; i++){
    //nasz aktualny przedział to [min, min+h];
    //potrzebujemy wartości funkcji w połowie przedziału, czyli
    //[min + (min+h)] / 2  = min + h/2
    polozenie = min + h/2;

    //liczymy wartość funkcji cos(x) dla wyliczonego położenia
    wartosc = cos(polozenie);

    //zwiększamy naszą wartość całki o pole prostokąta.
    //Wynosi ono [wartość funkcji] * h.
    calka += (wartosc*h);

    //aby przedział [min, min+h] był prawidłowy, musimy
    //zwiększyć "min" o wartość h - dostaniemy wtedy [min+h, min+2h].
    min += h;
  }

  //wypisujemy naszą całkę
  printf("\nWyliczona całka: %.11f\n", calka);
  printf("Błąd:            %.11f\n", abs(calka-0.841470984807));
}

Błędy pomiaru

Całkowanie numeryczne jest metodą przybliżającą pole. Oznacza to, iż nie podaje dokładnej wartości całki. W poniższej tabeli zawarte są błędy pomiaru w zależności od ilości użytych prostokątów.

Łatwo zauważyć w tym przypadku, że jeśli liczba prostokątów rośnie 10-krotnie, błąd maleje stukrotnie. Należy jednak wziąć pod uwagę, że algorytm dla funkcji z dużą zmiennością może być słabszy.