funkcja tablicowanie w szereg Taylora

Rejestracja:ponad 6 lat
Ostatnio:około 6 lat
Postów:2

0

Mam problem z napisaniem funkcji która przez iterację bedzię liczyła następny wyraz szeregu. Szereg:sqrt(1+x)= 1 + 1/2 x - 1/8 x^2 + 1/16 x^3 - 5/128 x^4 + 7/256 x^5 - 21/1024 x^6 + 33/2048 x^7 - 429/32768 x^8 + 715/65536 x^9 - 2431/262144 x^10 + 4199/524288 x^11 - 29393/4194304 x^12 + 52003/8388608 x^13

Kopiuj

#define li 100 //liczba iteracji do szeregu
//tablicowanie fcji sin w <a,b> - szereg + funkcja biblioteczna
//definicja funkcji szereg; x - parametr formalny
double szereg(double x)
{
double s, w;
int i;
s=x;
w=1+x;
for(i=1;i<=li;i+=2)
{
    // sqrt(1+x)=1 + 1/2 x - 1/8 x^2 + 1/16 x^3 - 5/128 x^4 + 7/256 x^5 - 21/1024 x^6
 w=-w*x/2*i //?
 s=s+w;
}
return s;
}

lion137 2019-01-11 16:07

Rozumiem, że Chcesz policzyć n - tą sumę, czyli zsumować n pierwszych wyrazów szeregu? Czy może sqrt(1+x)z jakąś dokładnością?

labajek 2019-01-14 15:08

tak, używając poprzedniego wyrazu

lion137 2019-01-14 15:13

Czyli rekurencyjnie, na jedno wychodzi.

MarekR22

2019-01-11 16:06

MarekR222019-01-11 16:06

Moderator C/C++

Rejestracja:ponad 17 lat
Ostatnio:23 minuty

1

https://dsp.krzaq.cc/post/445/jak-zadawac-pytania-na-forum/
Tytuł dobry
Treść, kiepska, bo nie wiadomo z czym masz problem i jakie masz wymagania co do rozwiązania.
Jest parę hasłeł, które sugerują coś bardziej ogólnego niż szereg Taylora dla $f(x) = \sqrt{x + 1}$

BTW: 1/2 w C daje 0!

edytowany 1x, ostatnio: MarekR22 2019-01-11 16:07

lion137

2019-01-11 17:55

lion1372019-01-11 17:55

Rejestracja:ponad 8 lat
Ostatnio:około 3 godziny
Postów:4944

1

taylorSeries sumuje n pierwszych wyrazów szeregu, przy okazji taylor liczy n-ty wyraz, coś to podejrzanie wolno zbieżne, ale wynik wygląda dobrze (dla x = 1 powinno dać pierwiatek z dwóch)

Kopiuj

// Taylor sqrt(1 + x), https://planetmath.org/taylorexpansionofsqrt1x
#include <iostream>
#include <cmath>



unsigned long fact(unsigned long n) {
	if (n == 0) return 1L;
	unsigned long p = 1L;
	while (n > 0){
		p *= n;
		n--;
	}
	return p;
}

int sign(int n) {
	return powl(-1, n - 1);
}

double f(unsigned long n) { // ułamek w Szeregu Taylora
	return  fact(2 * n - 3) / ( powl(2, 2 * n - 2) * fact(n) * fact(n - 2) );
}

double taylor(unsigned long i, double x) {
	return sign(i) * f(i) * pow(x, i);
}

double taylorSeries(double x, int maxIter) { 
	if (maxIter == 0) return 1;
	if (maxIter == 1) return 0.5 * x + 1;
	int i{2};
	double s{0.5D * x + 1};
	while (i < maxIter) {
		s = s + taylor(i, x);
		i++;
	}
	return s;

}

int main () {
	std::cout << taylorSeries(1, 20) << "\n"; // -> 1.41599
	return 0;
}

edytowany 1x, ostatnio: lion137 2019-01-11 23:39

enedil 2019-01-12 02:39

prog.cpp:30:14: error: suffix for double constant is a GCC extension [-Werror] double s{0.5D * x + 1};

lion137 2019-01-12 12:19

Zapominam, że nie wszyscy używają gcc, to musi sobie zmienić zgodnie ze swoim kompilatorem.

enedil 2019-01-12 12:27

No właśnie nie musi, ten dodatek jest zbędny, i tak wynik jest doublem.

lion137 2019-01-12 12:29

To spoko, tak myślałem, ale dałem na wszelki wypadek.

MarekR22

2019-01-11 23:09

MarekR222019-01-11 23:09

Moderator C/C++

Rejestracja:ponad 17 lat
Ostatnio:23 minuty

1

@lion137 ten twój kod ma dużo numerycznych kwiatków.
Matematycznie może wygląda poprawnie, ale od strony informatycznej tragedia.
Samo sign to absurd. Do tego silnia jest źle liczona (szybko rośnie i nie zmieści ci się w unsigned long).
W takich zadaniach kolejne elementy szeregu liczy się na podstawie elementu poprzedniego.

edytowany 1x, ostatnio: MarekR22 2019-01-11 23:10

lion137 2019-01-11 23:19

Właśnie, cały turniej (brydż) mnie coś gryzło:-), że z tą silnią jest nie tak, trzeba to skrócić. A czemu sign to takie ``Zuo```?

MarekR22 2019-01-11 23:20

używasz ciężkiej funkcji do czegoś prostego.

lion137 2019-01-11 23:20

DLa przejrzystości, złożonościowo, to i tak nie zaszkodzi.

lion137 2019-01-11 23:38

W tym modelu (jaki przyjąłem) nie da się uprościć tej silni, jest to zbieżne, ale dokładność jest słaba, bo ten ułamek szybko ucieka do zera. Nie wiem jak tego uniknąć, licząc, jak Piszesz, z poprzednich elementów.

enedil

2019-01-12 03:17

enedil2019-01-12 03:17

Rejestracja:prawie 12 lat
Ostatnio:7 dni
Postów:1027

1

@lion7 zauważ taką relację rekurencyjną (o ile się nie pomyliłem):
$ taylor(i + 1, x) = (-1) \cdot \frac {(2i - 1) \cdot (2i - 2)} {4 (i+1)*(i+2)i(i-1)} \cdot (1+x)^{-1} \cdot taylor(i, x) $

A w kwesti zła funkcji sign, oto lepsza implementacja:

Kopiuj

int sign(int n)
{
if (n % 2 == 0) return -1;
return 1;
}

Edycja: istotnie, jednak się pomyliłem. Oto poprawny wzór:
$ taylor(i+1, x) = -\frac 1 4 \cdot \frac{(2i-1)(2i-2)}{(i+1)(i-1)} \cdot taylor(i, x) / (1+x) $

edytowany 6x, ostatnio: enedil 2019-01-12 13:26

lion137 2019-01-12 12:30

Co to jest n w tej rekurencji? Jaki jest jej warunek stopu?

enedil 2019-01-12 12:41

Czego w ogóle dotyczy pytanie? To jest tylko relacja rekurencyjna, tzn. każdy element ciągu jest definiowany za pomocą jakichś innych elementów tego samego ciągu.

enedil 2019-01-12 12:43

W kwestii n, miało być oczywiście i, tylko się zagapiłem.

lion137 2019-01-12 12:53

Ok, czyli, żeby to dawało ten szereg, to musi być: taylor(0, x) = 1. Ale szczerze mówiąc nie widze związku tej relacji z szeregiem Taylora dla inkryminowanej funkcji...

lion137

2019-01-12 14:23

lion1372019-01-12 14:23

Rejestracja:ponad 8 lat
Ostatnio:około 3 godziny
Postów:4944

1

Zamieniając i + 1 na i, i automatycznie i na i - 1 i zatrzymując rekurencje na i = 2 (wtedy zeruje się mianownik, więc dalsze liczenie nie ma sensu), zaimplenetowałem tę relację, ale nie wiem jak zinterpretować jej wyniki:

Kopiuj

double taylor2(unsigned long i, double x) { // for i >= 2
	if (i == 2) return -0.125D * x * x;
	return (-0.25) * ( (2 * i - 3) * (2 * i - 4)  / (i * (i - 2)) * (x + 1) ) * taylor2(i - 1, x);  
}

int main () {
	std::cout << taylor2(4, 1.0D) << "\n"; // -> 0.125 ??
	std::cout << taylor(4, 1.0D) << "\n"; // - > 0.0625 OK czwarty współczytnnik szeregu

	return 0;
}

enedil

2019-01-12 15:03

enedil2019-01-12 15:03

Rejestracja:prawie 12 lat
Ostatnio:7 dni
Postów:1027

1

To może najpierw popraw wzór - zamień tę linijkę

Kopiuj

    return (-0.25) * ( (2 * i - 3) * (2 * i - 4)  / (i * (i - 2)) * (x + 1) ) * taylor2(i - 1, x);

na taką

Kopiuj

    return (-0.25) * ( (2 * i - 3) * (2 * i - 4)  / (i * (i - 2)) / (x + 1) ) * taylor2(i - 1, x);

lion137

2019-01-12 17:30

lion1372019-01-12 17:30

Rejestracja:ponad 8 lat
Ostatnio:około 3 godziny
Postów:4944

1

Upierałbym się, że to nie jest to samo co we wzorze (jak jest wszystko przez (1 + x), / (1 + x), to dla mnie jest to samo, co 1 + x wchodzące do mianownika); nieważne, zmieniłem, ale dalej nie wiem co to zwraca:

Kopiuj

double taylor2(unsigned long i, double x) { // for i >= 2
	if (i == 2) return -0.125D * x * x;
	return (-0.25) * ( (2 * i - 3) * (2 * i - 4)  / (i * (i - 2)) / (x + 1) ) * taylor2(i - 1, x);  
}

int main () {
	std::cout << taylor2(4, 1.0D) << "\n"; // -> -0.0078125 ???
	std::cout << taylor(4, 1.0D) << "\n"; // - > -0.0390625 OK, czwarty wspólczynnik szeregu.
	return 0;
}

enedil 2019-01-12 18:42

Tak, umiem operować na ułamkach. U Ciebie mnożenie było już poza mianownikiem.

enedil 2019-01-12 18:42

I masz też rację, że coś jest nie tak, ale nie mam czasu debugować.

funkcja tablicowanie w szereg Taylora

labajek

MarekR22

lion137

MarekR22

enedil

lion137

enedil

lion137

PHP + Codeigniter 4 programista, aplikacja do fakturowania

React Frontend Developer

Praca dla programistów

Forum dyskusyjne

Sprawy administracyjne

O nas

Skontaktuj się z nami