Cos(x) - szereg Taylora nie działa dla x>2

d00dle

2012-04-03 10:21

d00dle2012-04-03 10:21

Kopiuj

 int factorial(int n) {
    int i;
    int product = 1;
    for (i = 2; i <= n; ++i) product *= i;
    return product;
}

double cosx_Taylor(double x) {
	const double eps = 0.00001; // dokładność
	
	double sum = 0;
	int i = 0;
	double sign = 1.0;
	double w = 1.0;
	
	while (eps < fabs(w)) {
          w = (pow(x, (double) (2 * i)) * sign) / ((double) (factorial(2 * i)));
          sign = -sign;
          sum += w;
          ++i;
    } 
    return sum;
}

Proszę was o pomoc, moja funkcja nie działa już dla x minimalnie większych od 2, w czym tkwi problem? Myślę, że algorytm jest poprawny.

Shalom

2012-04-03 10:39

~~Shalom~~2012-04-03 10:39

Rejestracja:około 21 lat
Ostatnio:prawie 3 lata
Lokalizacja:Space: the final frontier
Postów:26433

Włącz myślenie.

Kolejny wyraz szeregu JEST mocno skorelowany z poprzednim wyrazem. Nie ma sensu liczyć znów potęgi i silni, wystarczy pomnożyć i podzielić przez coś...
Za duże liczby. Zwykły int nie pomieści zbyt wysokiej silni (long long da radę maksymalnie do 20!)

d00dle

2012-04-03 11:37

d00dle2012-04-03 11:37

Kopiuj

double cosx_Taylor(double x) {
	const double eps = 0.00001; // dokładność
	
	double i = 0;
	double l = 1.0; // licznik
	double m = 1.0; // mianownik
	double sign = -1.0;
	double sum = 1.0;
	double w = 1.0; // bieżący wyraz
	double x2 = x*x;
	
	while (eps < fabs(w)) {
          l *= x2;
          m *= (i+1)*(i+2);
          w = (sign * l)/m;
          sign = -sign;
          sum += w;
          ++i;
    } 
    return sum;
}

Dzięki Twojej radzie, program działa tyle, że teraz wyświetla błędny wynik, zrezygnowałem z osobnej funkcji liczącej silnie. Nie wiem co tym razem jest źle :<

Oak

2012-04-03 11:57

Oak2012-04-03 11:57

Rejestracja:ponad 13 lat
Ostatnio:prawie 10 lat
Postów:95

Kopiuj

#include <stdio.h>
#include <math.h>


double Cos(double x) {
	const double eps = 0.00001; // dokładność

	double i = 0;
	double l = 1.0; // licznik
	double m = 1.0; // mianownik
	double sign = -1.0;
	double sum = 1.0;
	double w = 1.0; // bieżący wyraz
	double x2 = x*x;

	while (eps < fabs(w)) {
		l *= x2;
		m *= (i+1)*(i+2);
		w = (sign * l)/m;
		sign = -sign;
		sum += w;
		i += 2; // Tu.
	} 
	return sum;
} 



int main(int argc, char* argv[]) {
	double x;
	for (x = 0.0; x < 3.5; x += 0.1)
		printf("Cos(%.1lf) - cos(%.1lf) = %lf\n",
			x, x, Cos(x)-cos(x) );
	
	return 0;
}

Można jeszcze zwiększyć troszkę wydajność:

Kopiuj

double Cos(double x) {
	const double eps = 0.00001;
	const double x2 = x*x;

	int i = 1;
	double sum = 1.0;
	double w = 1.0;

	while (eps < fabs(w)) {
		w *= -x2/(i*(i+1));
		sum += w;
		i += 2;
	} 

	return sum;
}

edytowany 1x, ostatnio: Oak 2012-04-03 12:06

d00dle

2012-04-03 12:53

d00dle2012-04-03 12:53

Dzięki wielkie :) Jeszcze tylko jedno pytanie, czy to normalne, że dla większych wartości x np. dla 200, wartość funkcji jest kompletnie różna od prawidłowej?

Oak

2012-04-03 14:01

Oak2012-04-03 14:01

Rejestracja:ponad 13 lat
Ostatnio:prawie 10 lat
Postów:95

Dla większych argumentów nasza suma szybko zmierza do nieskończoności, a potem trudno ją z tej nieskończoności sprowadzić na ziemię. ;) Typ double ma ograniczoną dokładność, co objawia się zaniedbywaniem małych wartości dodanych do dużych. Przeprowadź test i zauważ co się dzieje pod końcem.

Kopiuj

#include <stdio.h>
#include <math.h>

double Cos(double x) {
	const double eps = 0.00001;
	const double x2 = x*x;

	int i = 1;
	double sum = 1.0;
	double w = 1.0;


	puts("  i:                  sum += w");
	puts("-----------------------------------------------------");
	
	while (eps < fabs(w)) {
		w *= -x2/(i*(i+1));
		
		printf("%3d: %20g += %g\n", i, sum, w);
		sum += w;
		
		i += 2;
	}
	
	puts("-----------------------------------------------------");
	printf("Cos(%g) = %g\n", x, sum);
	
	return sum;
}


int main(int argc, char* argv[]) {
	Cos(150);
	
	return 0;
}

Oczywiście można tej sytuacji zaradzić. Podam dwa najbanalniejsze sposoby:

Sposób 1 (pamięciożerny):
Każdy wynik cząstkowy zapisujemy do tablicy, którą potem sortujemy i dodajemy wartości w odpowiedniej kolejności (tak aby nie tracić precyzji).

Sposób 2:
Możemy najpierw wybrać odpowiednio mały x, dla którego wartość cosinusa jest taka sama jak dla dużego x. ;)

Xitami

2012-04-03 15:30

Xitami2012-04-03 15:30

Rejestracja:ponad 20 lat
Ostatnio:około rok

Kopiuj

#define PI 3.1415926535897932384626433832795
main(void) {
	double f, i, x=2000.0;

	f = 2 * PI * modf( x/(2*PI), &i );     // |f| < 2*Pi
	printf("%f == %f", cos(x), cos(f));}

Oak 2012-04-03 16:06

dokładnie o to mi chodziło w sposobie 2. ;)

Xitami 2012-04-03 16:10

można to łatwo poprawić tak, że |f| < Pi / 2

Xitami

2012-04-03 16:31

Xitami2012-04-03 16:31

Rejestracja:ponad 20 lat
Ostatnio:około rok

po redukcji zakresu można jeszcze skorzystać ze wzoru cos(2x) = 2 cos(x)^2 - 1

Kopiuj

double COS(double x){
        if( fabs(x) >= 1) {
                double t=COS(x/2);
                return 2*t*t - 1; }
        else return cos(x); }

albo iteracyjnie np.:

Kopiuj

double Cos(double x){
        int i=0; double t;
        while( fabs(x) > 1 ) {
                x/=2; i++; }
        t=cos(x);
        while(i>0){
                t=2*t*t-1; i--;}
        return t;}

razem

Kopiuj

	double nic;
	x = 2 * PI * modf( x/(2*PI), &nic );     // |x| < 2*Pi
	x /= 8;
	x = cos(x);                              // |x| < 0.785
	x = 2*x*x-1;
	x = 2*x*x-1;
	x = 2*x*x-1;

edytowany 3x, ostatnio: Xitami 2012-04-03 16:46

d00dle

2012-04-03 17:02

d00dle2012-04-03 17:02

Dziękuję wszystkim za odpowiedzi i pozdrawiam

Liczba odpowiedzi na stronę

Treść *

Treść

Podgląd

Kliknij, aby dodać treść...

Kliknij, aby dodać załącznik lub wklej ze schowka.

Instrukcja obsługi Markdown

Pomoc 1.18.8

Typografia

Edytor obsługuje składnie Markdown, w której pojedynczy akcent *kursywa* oraz _kursywa_ to pochylenie. Z kolei podwójny akcent **pogrubienie** oraz __pogrubienie__ to pogrubienie. Dodanie znaczników ~~strike~~ to przekreślenie.

Możesz dodać formatowanie komendami , , oraz .

Ponieważ dekoracja podkreślenia jest przeznaczona na linki, markdown nie zawiera specjalnej składni dla podkreślenia. Dlatego by dodać podkreślenie, użyj underline.

Komendy formatujące reagują na skróty klawiszowe: Ctrl+B, Ctrl+I, Ctrl+U oraz Ctrl+S.

Linki

By dodać link w edytorze użyj komendy lub użyj składni [title](link). URL umieszczony w linku lub nawet URL umieszczony bezpośrednio w tekście będzie aktywny i klikalny.

Jeżeli chcesz, możesz samodzielnie dodać link: <a href="link">title</a>.

Wewnętrzne odnośniki

Możesz umieścić odnośnik do wewnętrznej podstrony, używając następującej składni: [[Delphi/Kompendium]] lub [[Delphi/Kompendium|kliknij, aby przejść do kompendium]]. Odnośniki mogą prowadzić do Forum 4programmers.net lub np. do Kompendium.

Wspomnienia użytkowników

By wspomnieć użytkownika forum, wpisz w formularzu znak @. Zobaczysz okienko samouzupełniające nazwy użytkowników. Samouzupełnienie dobierze odpowiedni format wspomnienia, zależnie od tego czy w nazwie użytkownika znajduje się spacja.

Znaczniki HTML

Dozwolone jest używanie niektórych znaczników HTML: <a>, , , <kbd>, <del>, , <dfn>, <pre>, <blockquote>, <hr/>, ,  oraz <img/>.

Skróty klawiszowe

Dodaj kombinację klawiszy komendą notacji klawiszy lub skrótem klawiszowym Alt+K.

Reprezentuj kombinacje klawiszowe używając taga <kbd>. Oddziel od siebie klawisze znakiem plus, np <kbd>Alt+Tab</kbd>.

Indeks górny oraz dolny

Przykład: wpisując H2O i m2 otrzymasz: H₂O i m².

Składnia Tex

By precyzyjnie wyrazić działanie matematyczne, użyj składni Tex.

<tex>arcctg(x) = argtan(\frac{1}{x}) = arcsin(\frac{1}{\sqrt{1+x^2}})</tex>

Kod źródłowy

Krótkie fragmenty kodu

Wszelkie jednolinijkowe instrukcje języka programowania powinny być zawarte pomiędzy obróconymi apostrofami: `kod instrukcji` lub ``console.log(`string`);``.

Kod wielolinijkowy

Dodaj fragment kodu komendą . Fragmenty kodu zajmujące całą lub więcej linijek powinny być umieszczone w wielolinijkowym fragmencie kodu. Znaczniki ``` lub ~~~ umożliwiają kolorowanie różnych języków programowania. Możemy nadać nazwę języka programowania używając auto-uzupełnienia, kod został pokolorowany używając konkretnych ustawień kolorowania składni:

```javascript document.write('Hello World'); ```

Możesz zaznaczyć również już wklejony kod w edytorze, i użyć komendy by zamienić go w kod. Użyj kombinacji Ctrl+`, by dodać fragment kodu bez oznaczników języka.

Tabelki

Dodaj przykładową tabelkę używając komendy . Przykładowa tabelka składa się z dwóch kolumn, nagłówka i jednego wiersza.

Wygeneruj tabelkę na podstawie szablonu. Oddziel komórki separatorem ; lub |, a następnie zaznacz szablonu.

nazwisko;dziedzina;odkrycie
Pitagoras;mathematics;Pythagorean Theorem
Albert Einstein;physics;General Relativity
Marie Curie, Pierre Curie;chemistry;Radium, Polonium

Użyj komendy by zamienić zaznaczony szablon na tabelkę Markdown.

Lista uporządkowana i nieuporządkowana

Możliwe jest tworzenie listy numerowanych oraz wypunktowanych. Wystarczy, że pierwszym znakiem linii będzie * lub - dla listy nieuporządkowanej oraz 1. dla listy uporządkowanej.

Użyj komendy by dodać listę uporządkowaną.

1. Lista numerowana
2. Lista numerowana

Użyj komendy by dodać listę nieuporządkowaną.

* Lista wypunktowana
* Lista wypunktowana
** Lista wypunktowana (drugi poziom)

Składnia Markdown

Edytor obsługuje składnię Markdown, która składa się ze znaków specjalnych. Dostępne komendy, jak formatowanie , dodanie tabelki lub fragmentu kodu są w pewnym sensie świadome otaczającej jej składni, i postarają się unikać uszkodzenia jej.

Dla przykładu, używając tylko dostępnych komend, nie możemy dodać formatowania pogrubienia do kodu wielolinijkowego, albo dodać listy do tabelki - mogłoby to doprowadzić do uszkodzenia składni.

W pewnych odosobnionych przypadkach brak nowej linii przed elementami markdown również mógłby uszkodzić składnie, dlatego edytor dodaje brakujące nowe linie. Dla przykładu, dodanie formatowania pochylenia zaraz po tabelce, mogłoby zostać błędne zinterpretowane, więc edytor doda oddzielającą nową linię pomiędzy tabelką, a pochyleniem.

Skróty klawiszowe

Skróty formatujące, kiedy w edytorze znajduje się pojedynczy kursor, wstawiają sformatowany tekst przykładowy. Jeśli w edytorze znajduje się zaznaczenie (słowo, linijka, paragraf), wtedy zaznaczenie zostaje sformatowane.

Ctrl+B - dodaj pogrubienie lub pogrub zaznaczenie
Ctrl+I - dodaj pochylenie lub pochyl zaznaczenie
Ctrl+U - dodaj podkreślenie lub podkreśl zaznaczenie
Ctrl+S - dodaj przekreślenie lub przekreśl zaznaczenie

Notacja Klawiszy

Alt+K - dodaj notację klawiszy

Fragment kodu bez oznacznika

Alt+C - dodaj pusty fragment kodu

Skróty operujące na kodzie i linijkach:

Alt+L - zaznaczenie całej linii
Alt+, Alt+ - przeniesienie linijki w której znajduje się kursor w górę/dół.
Tab/⌘+] - dodaj wcięcie (wcięcie w prawo)
Shit+Tab/⌘+[ - usunięcie wcięcia (wycięcie w lewo)

Dodawanie postów:

Ctrl+Enter - dodaj post
⌘+Enter - dodaj post (MacOS)

Cos(x) - szereg Taylora nie działa dla x>2

d00dle

Shalom

d00dle

Oak

d00dle

Oak

Xitami

Xitami

d00dle

Smileys & People

Animals & Nature

Food & Drink

Travel & Places

Activities

Objects

Symbols

Typografia

Linki

Wewnętrzne odnośniki

Wspomnienia użytkowników

Znaczniki HTML

Skróty klawiszowe

Indeks górny oraz dolny

Składnia Tex

Kod źródłowy

Krótkie fragmenty kodu

Kod wielolinijkowy

Tabelki

Lista uporządkowana i nieuporządkowana

Składnia Markdown

Skróty klawiszowe