Współrzędne środka okręgu przechodzącego przez trzy punkty

Ktoś kiedyś powiedział, że przez trzy punkty spełniające pewne założenia można poprowadzić tylko okrąg o ściśle określonym promieniu. W artykule tym pragnę przedstawić wzór na znajdowanie środka okręgu przechodzącego przez trzy punkty "p1", "p2" oraz "p3", które spełniają następujące założenia:

p1 != p2 && p2 != p3 && p1 != p3
oraz
wszystkie trzy punkty nie mogą leżeć na tej samej linii

Jeżeli chodzi o sam wzór, to wyprowadza się go ze wzoru, który z pewnością wszyscy znacie z lekcji matematyki:

a więc istnieje możliwość zapisania trzech równań:

promień okręgu nie jest nam znany więc z trzech równań trzeba zrobić dwa:

powyższy układ równań nie należy do najprostszych w rozwiązaniu a wpisywanie wzorów na tym forum jest nieco uciążliwe, więc od razu przejdę do ostatecznego wzoru:

w TeX-sie niestety musiałem rozbić cały ułamek na dwie części, bo nie mieścił się na stronie.

Na wszelki wypadek i dla świętego spokoju zostawiam starą wersję zapisu (bez TeX-a)

    1     (p2.x * p2.x * p3.y + p2.y * p2.y * p3.y - p1.x * p1.x * p3.y + p1.x * p1.x * p2.y - p1.y * p1.y *

Xs = -- * -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------
2

p3.y + p1.y * p1.y * p2.y + p1.y * p3.x * p3.x + p1.y * p3.y * p3.y - p1.y * p2.x * p2.x - p1.y * p2.y *

p1.y * p3.x - p1.y * p1.x - p2.y2 * p3.x - p3.y * p1.x + p3.y * p2.x + p2.y * p2.x

p2.y - p2.y * p3.x * p3.x - p2.y * p3.y * p3.y)

No dobra Xs jest już z głowy, teraz Ys:

    1     (-p1.x * p3.x * p3.x - p1.x * p3.y * p3.y + p1.x * p2.x * p2.x + p1.x *  p2.y * p2.y + p2.x *

Ys = -- * ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------
2

p3.x * p3.x + p2.x * p3.y * p3.y - p2.x * p2.x * p3.x - p2.y * p2.y * p3.x + p1.x * p1.x * p3.x - p1.x *

p1.y * p3.x - p1.y * p2.x - p2.y * p3.x - p3.y * p1.x + p3.y * p2.x + p2.y * p1.x

p1.x * p2.x + p1.y * p1.y * p3.x - p1.y * p1.y * p2.x

No i to by było na tyle, może jeszcze tylko dodam jak obliczyć promień (co jest banalne). Jeżeli czytaliście artykuł Operacje na wektorach to wiecie jak stworzyć klasę opisującą wektor i jak obsłużyć podstawowe operatory dla tej klasy i metody. Używając takiej klasy można obliczyć promień w następujący sposób:

ray = (P1 - Ps).Length();

gdzie Length jest metodą zwracającą długość wektora uzyskanego z różnicy wektorów P1 - Ps.

A oto przykład gotowej funkcji

void CircleCenter(double x1,double y1,double x2,double y2,double x3,double y3,double &Xs,double &Ys){
        Xs = 0.5 * (x2 * x2 * y3 + y2 * y2 * y3 - x1 * x1 * y3 + x1 * x1 * y2 - y1 * y1 * y3 + y1 * y1 * y2 + y1 * x3 * x3 + y1 * y3 * y3 - y1 * x2 * x2 - y1 * y2 * y2 - y2 * x3 * x3 - y2 * y3 * y3) / (y1 * x3 - y1 * x2 - y2 * x3 - y3 * x1 + y3 * x2 + y2 * x1);
        Ys = 0.5 * (-x1 * x3 * x3 - x1 * y3 * y3 + x1 * x2 * x2 + x1 * y2 * y2 + x2 * x3 * x3 + x2 * y3 * y3 - x2 * x2 * x3 - y2 * y2 * x3 + x1 * x1 * x3 - x1 * x1 * x2 + y1 * y1 * x3 - y1 * y1 * x2) / (y1 * x3 - y1 * x2 - y2 * x3 - y3 * x1 + y3 * x2 + y2 * x1));
}

Tutaj możesz pobrać program rysujący koło przechodzące przez trzy punkty z kodem źródłowym