Podstawy elektroniki - PRĄD ZMIENNY

Wstęp

Do tej pory mowa była cały czas o prądzie stałym, w którym elektrony poruszały się w jednym ustalonym kierunku. Prąd zmienny natomiast może pulsować (wtedy również poruszają się w jednym kierunku, ale natężenie w różnych chwilach nie jest stałe, lecz pulsuje). Taki prąd nazywamy pulsującym. Natomiast częściej spotykamy prąd przemienny – pulsuje on w obu kierunkach, co chwila zmieniając kierunek przepływu. Wykresem zależności I(t), czyli natężenia prądu od czasu w przypadku prądu stałego jest linia prosta y=a, gdzie a to natężenie prądu. Prąd przemienny natomiast może mieć różne przebiegi ( wykresy i(t) ) jednak najbardziej popularny jest przebieg sinusoidalny. Jak już zauważyliście z mojego zapisu: wielkie I oznacza prąd stały, małe - zmienny. Wykresem takim wtedy jest y=sin(t). Chyba każdy umie sobie takie zjawisko wyobrazić, jest natomiast kilka spraw, które wymagają opisu. y =sin(t) podałem tylko jako przedstawienie kształtu takiego przebiegu

Częstotliwość, pulsacja, amplituda, faza, przesunięcie fazowe

Trochę pojęć się nam teraz narobiło. Po kolei: częstotliwość (mierzona w jednostkach zwanych Hercami – odwrotność sekundy) to liczba okresów przypadająca na jedną sekundę. Okres to nic innego jak jeden pełen cykl przepływu, czyli 2Pi na wykresie przebiegu. Częstotliwość zaznaczamy literką f (ang: frequency). Łatwo policzyć, że przykładowy prąd o częstotliwości 50 Hz (herców), wykonuje 100 zmian na sekundę (jako zmianę mam na myśli chwilowy ruch elektronów z jednego kierunku na drugi). W praktyce stosuje się właśnie takie duże częstotliwości, zatem tak naprawdę cała ta pulsacja jest dla naszego oka niezauważalna. Częstotliwość 50 Hz mamy na przykład w naszych domowych gniazdkach, mimo to nie zauważamy migotania żarówki, gdy pulsuje prąd. Człowiek zauważa pulsowanie w granicach 20-25 Hz.
Pulsacja jest proporcjonalna do częstotliwości (ang: pulsation). Mówi ona o jaką miarę konta na wykresie przebiegu zmienia się prąd w jednej sekundzie. Zatem nic prostszego, ponieważ jeden Herc odpowiada 360 stopni, wystarczy częstotliwość pomnożyć przez 2Pi (około 6,28) i już mamy pulsację (Wielkość tę mierzymy w radianach na sekundę, ale ponieważ radian nie ma fizycznego wymiaru to cała jednostka przypomina Herca – jednak nią nie jest). Piszemy wtedy s^(-1) (odwrotność sekundy)

Amplituda opisuję maksymalną wartość chwilową prądu dla przebiegu sinusoidalnego. Są to po prostu wartości szczytowe (tzw „górki” na wykresie wykresie=sin(x)).
Faza, to pojęcie dość nietypowe. Aby je wyjaśnić, posłużymy się wyobrażonym przez was rysunkiem. Załóżmy, że mamy dwa wykresy prądu sinusoidalnego, te same pulsacje oraz te same amplitudy. Teraz: jeden wykres jest przesunięty względem drugiego o jakiś kont. W ten sposób, prądy te mają tę samą pulsację, tę samą amplitudę, ale różnią się fazami.
Wszystkie powyższe wykresy opieraliśmy na funkcji i(t), czyli zależności prądu od czasu, równie dobrze jednak można narysować funkcję u(t), czyli zależność napięcia od czasu.. będzie on też sinusoidalny. W niektórych obwodach po zastosowaniu różnych elementów (o czym dowiesz się niedługo), prąd może opóźniać się nieco za napięciem lub też odwrotnie. Kąt pomiędzy napięciem a natężeniem w takim obwodzie nazywamy przesunięciem fazowym.

Rezystor zasilany prądem sinusoidalnym, opór czynny, wartość skuteczna

Zastanówmy się nad sytuacją, gdy przez rezystor przepływa prąd przemienny sinusoidalny o określonej pulsacji. Jakie jest natomiast jego natężenie? Jak je wyliczyć? Chcąc obliczyć średni prąd, biorąc pod uwagę kierunek – gdy przepływa w jedną stronę jest dodatni (chwilowo), w drugą natomiast – ujemny. Można oczywiście podawać wartości chwilowe, które będą się zmieniały w granicach od amplitudy do… minus amplitudy. Ale oczywiście tak się nie robi – obliczamy tzw. wartość skuteczną prądu. Bynajmniej nie jest wartość średnia prądu. Wartość skuteczna prądu przemiennego jest to taka wartość prądu stałego, który w tym samym czasie równym jednemu okresowi wydziela na rezystorze tę samą ilość ciepła. Np. Prąd stały o natężeniu wywołuje taką samą ilość ciepła w jednym okresie, co inny prąd zmienny. Z tego wynika, że wartość skuteczna wyżej opisanego prądu zmiennego jest równa wartości prądu stałego. Elektronicy już automatycznie umieją szybko obliczyć wartość skuteczną, jest to nic innego jak wartość amplitudy, podzielona przez pierwiastek z dwóch. A jest to przybliżając: Esk = 0,707 Em. Chyba łatwo zapamiętać, a jest to dość ważne, gdyż od tej pory bierzemy pod uwagę tylko wartość skuteczną. Istnieje również coś takiego jak wartość średnia prądu, ale na razie nie musicie się tym zajmować. (dla zainteresowanych, jest to 0,636 wartości amplitudy). Jeszcze jedna uwaga: wartości skuteczne jak i średnie możemy odwołać tez do napięcia, a współczynniki są takie same.

Teraz gdy już znane jest ci pojęcie wartości skutecznej, można wstawić opornik do obwodu prądu zmiennego. Jak się ma tu sytuacja w przypadku prawa Ohma? Otóż – dokładnie tak samo, ale z jedną istotną różnicą. Bierzemy pod uwagę wartości skuteczne prądu i napięcia.
U = I*R, I = U/R – wzory oba są prawdziwe dla prądu przemiennego, pod warunkiem, że U oznacza wartość skuteczną napięcia, a I –wartość skuteczną prądu. W innym przypadku wzór ten nie jest prawdziwy.

Z dalszych części kursu, dowiesz się co to jest opór bierny i z czysto się to je – zatem najpierw poznajmy definicję oporu czynnego. Rezystor zasilany prądem zmiennym powoduje opór tzw. czynny – jego wartość nie zależy od pulsacji prądu. W każdym przypadku jest taki sam, można go wyznaczyć z prawa Ohma (pamiętamy tu jednak o wartościach skutecznych). Jest istotna różnica w oporze czynnym jak i biernym – są to inne wielkości, choć oba mierzone w jednostkach zwanych omami. Ważnym tutaj pojęciem jest też przesunięcie fazowe. Jeżeli chcemy na jednym wykresie przedstawić przebiegi i(t) oraz u(t) dla rezystora zasilanego prądem sinusoidalnym to prąd jest w fazie z napięcie, jednak jego amplituda jest mniejsza.

I jeszcze jedna ważna uwaga: rozważając rezystor zasilany prądem przemiennym mam na myśli obwód składający się tylko i wyłącznie z rezystora i źródła napięcia zasilającego + przewody łączące.

Cewka indukcyjna, reaktancja

Cewka to nic innego jak zwoje nawinięte na jakiś rdzeń (lub też bez rdzenia). To co charakteryzuje cewkę, to jej indukcyjność (mierzona w Henrach). Na schematach cewkę oznaczamy przez linię łamaną (spiralę) literką L. (ang: inductor). Przepływ prądu przemiennego przez cewkę powoduje indukcję własną, im pulsacja prądu jest większa – tym większa jest indukcja własna cewki – tym większy opór stawia prądowi. Opór ten nazywamy biernym (reaktancją, ang: reactance), gdyż zależy on od wartości pulsacji danego prądu (jest zmienny). Dla danej cewki podaje się tylko wartość indukcyjności mierzonej w Henrach, natomiast reaktancję liczymy mnożąc indukcyjność i pulsacje. Reaktancję oznaczamy literką X. Od razu kilka niepokojących wyjaśnień: powiedziałem, że wartość reaktancji cewki dla danego prądu zależy od jego pulsacji… ale jak na to wpływa pulsacja napięcia? Otóż tak samo, gdyż w naszych układach wartość pulsacji napięcia na źródle jest taka sama jak prądu oraz napięcia na wszystkich elementach obwodu – zatem – nie musimy się tym przejmować. Jednostką reaktancji jest oczywiście om (gdyż dalej jest to opór elektryczny). I kolejna ważna uwaga: cewka w przypadku prądu stałego jest niczym innym jak przewodnikiem (zwiera zaciski, gdyż nawet wynika to ze wzoru, pulsacja równa jest zeru, cała reaktancja równa jest 0 – zwarcie!). Najogólniej mówiąc: Reaktancja indukcyjna jest równa iloczynowi pulsacji (omega) i indukcyjności L. Prawo Ohma tak samo ma się dla cewki jak i rezystora, pamiętamy jednak o wartościach skutecznych oraz o tym, że zamiast oporu czynnego – jest reaktancja indukcyjna. Ale dlaczego jest to inny opór niż czynny? Otóż wlutowanie cewki w obwód (tylko cewka, źródło i przewody – nic więcej), powoduje taką oto niemiłą sytuację: napięcie na cewce wyprzedza o kąt 90 stopni fazę prądu. Można też zdefiniować odwrotnie: prąd opóźnia się w fazie o 90 stopni względem napięcia na cewce (na jej zaciskach). Prąd i napięcie są po prostu przesunięte fazowo. To czyni różnice pomiędzy oporem czynnym i biernym i należy je rozróżniać.. i zaraz się dowiecie jak to robić.

Chcąc oznaczyć w jakimś stopniu opór bierny, aby móc go odróżniać należy skorzystać z zespolenia reaktancji. Przyda się to nieco później również w obliczaniu całej „impedancji” i prądów w obwodzie. Możemy przedstawić reaktancję jako urojoną część ogólnego „oporu” elektrycznego, dodając przed nią literkę „j” (jednostkę urojoną). Aby oczywiście rozumieć dalszą część artykułu należy znać liczby zespolone. Oznaczanie jX, oznacza reaktancję zespoloną, ale samą wartością reaktancji jest oczywiście X, „j” jest w tym przypadku samym współczynnikiem, który mówi nam o urojeniu reaktancji, jako czegoś, co nie jest w „wymiarze” zwykłego oporu. Specjalnie oznaczyłem urojenie przez „j” a nie jako „i” standardowo w matematyce, jako „imaginary”, ponieważ niektórym może się pomieszać z prądem zmiennym – również oznaczany przez „i”. Podsumowując: Reaktancja na cewce jest proporcjonalna do pulsacji prądu, cewka indukcyjna stwarza duży opór prądom wielkiej częstotliwości. Urojenie ogólnie odnosić się będzie do fizycznych wielkości BIERNYCH.

Kondensator, reaktancja pojemnościowa

Kondensator mam nadzieję, że każdy wie jak wygląda i do czego służy (dwie okładki zgromadzające ładunek przy przyłożonym napięciu). Na schematach oznaczany jako dwie kreski równoległe, tak jak "rysunek poniżej:

------------||--------------

Jego pojemność określa się w faradach. Pojemność to nic innego jako współczynnik proporcjonalności pomiędzy ładunkiem jaki może mieścić materiał do napięcia. Działa on na zasadzie odwrotności cewki indukcyjnej. W przypadku prądu stałego, ładunki szybko zgromadzą się na okładkach i mamy przerwę w obwodzie (obwód otwarty, I = 0 A). W przypadku prądu przemiennego – intuicyjnie – im szybciej pulsuje, tym ładunki się szybciej zmieniają. I mimo, że obwód jest fizycznie „otwarty” – prąd płynie. Im większa pulsacja – tym łatwiej „mu to idzie”. Zatem – kondensator stwarza duży opór prądom małej częstotliwości. W przypadku wyobrażonej pulsacji nieskończenie wielkiej – zwarcie! (nie przebicie – nie mylić pojęć!) Opór na kondensatorze jest również reaktancją, ale pojemnościową, obliczamy ją jako odwrotność iloczynu pulsacji oraz pojemności kondensatora. X = 1/ (omega * C). Na kondensatorze (odwrotnie do cewki), faza prądu wyprzedza fazę napięcia o 90 stopni (można też oczywiście powiedzieć odrotnie…). Czasami oznacza się reaktancję indukcyjną z indeksem L, natomiast pojemnościową z indeksem C. Prawo Ohma – tak samo jak w przypadku rezystora i cewki (chyba nie trzeba trzeci raz tłumaczyć).

Zespolenie polega na urojeniu mianownika, co automatycznie powoduje, że powstaje wyrażenie: odwrotność urojenia, co jak wiedzą po niektórzy matematycy – daje liczbę –j (z minusem!), ponieważ ( 1/j = -j ). Można zatem oznaczyć reaktancję pojemnościową zespoloną jako –j*(1/omega*C). Tak też będziemy robili.

UWAGA: Na pewno niektórych zastanawia fakt różnicy w fazach: „napięcie spóźnia się za prądem o 90- stopni” – jak to możliwe, skoro w chwili czasu równym 0, gdy napięcie jest równe 0 – prąd ma maksymalną wartość – niemożliwe! Skąd się tam wziął, skoro obwód jeszcze nawet nie został włączony? Otóż: mowa tu jest o stanie ustalonym obwodu, czyli takim, który już się nie zmienia. Nie mówimy tu o istotnym „włączeniu” czyli zamknięciu obwodu – dzieją się wtedy różne rzeczy – jest niestabilny. Dlatego patrząc na wykres : wartość zero oznacza start stanu ustalonego (stabilnego) obwodu, a nie chwila zamnięcia obwodu.

Połączenie R, L, C – impedancja

Impedancja (ang: impedancje) to nic innego jak łączny opór wszystkich elementów układu : biernych i czynnych. My oczywiście posługiwać będziemy się impedancją zespoloną, aby od razu rozkładać ją na część czynną oraz urojoną bierną. I od razu może, żeby nie zwlekać weźmiemy się za jakiś dobry przykład. Niech będzie obwód złożony z : źródła napięcia oraz trzech elementów połączonych szeregowo (rezystora, cewki i kondensatora). Przyjmijmy sobie też jakieś dane:

E = 220 [V] (napięcie na źródle)
C = 15 [mikro F] (pojemność kondensatora)
L = 0,6 [H] (indukcyjność cewki)
R = 150 [om] (rezystancja opornika)
Omega = 100*pi [s^(-1) , rad/sek] (pulsacja napięcia na źródle)

Naszym celem jest obliczenie – jaki będzie płynął prąd w tymże obwodzie. Ponieważ chcemy ostro sprecyzować naszą odpowiedź – podamy wartość skuteczną prądu oraz kąt miedzy jego fazą, a fazą napięcia na źródle. Mówiliśmy, że na cewce i kondensatorze, przesunięcie fazowe między napięciem a prądem jest ściśle określone – to oczywiście prawda, ale w przypadku włączenie tych dwóch elementów w obwód – przesunięcie może być już inne, zależne od impedancji całego układu. Nasz przykładowy układ nie jest nazbyt skomplikowany. Przede wszystkim, należało by obliczyć całą impedancję układu tych trzech elementów (podobnie jak w przypadku rezystancji zastępczej przy prądzie stałym), a następnie podzielić ją przez napięcie – i to – teoretycznie dało by nam prąd. Owszem – tak zrobimy – musimy jednak pamiętać o kilka rzeczach. Mówiąc tu napięcie, mamy na myśli wartość skuteczną napięcia na źródle – a więc jeśli dana jest tylko amplituda – wyliczamy wartość skuteczną. Załóżmy, że w tym przypadku jest dana amplituda prądu (220 V). Obliczamy wartość skuteczna mnożąc przez 0,707 i otrzymujemy, że Esk= 155,54 V.
Teraz należało by policzyć wszystkie opory naszych elementów. Pierwszy opór już mamy: rezystancja wynosi 150 om, i jest to opór czynny – nie musimy się nad nim dłużej rozmyślać. Następnie widzimy cewkę. Wiadomo jak liczymy wartość reaktancji, zatem po wymnożeniu otrzymujemy, że XL = 188,4 om. Wartość reaktancji dla kondensatora też łatwo liczmy, pamiętajmy jednak o odwrotności i o tym, że w naszych przypadku jednostką jest mikro farad, musimy też zastosować odpowiedni mnożnik (tutaj równy jest on 10^(-6) ). Po obliczeniu: Xc = 212,314 om. W porządku – mamy obliczone opory elementów, teraz trzeba by jakoś obliczyć rezystancję całego układu (jego impedancję). Bynajmniej nie można dodać tych wszystkich oporów, gdyż rezystor wywołuje opór czynny, a cewka i kondensator – bierny. Zatem musimy uroić opór bierny, dopisując jednostkę urojoną przy reaktancji... Tym sposobem oddzieliliśmy opór czynny rezystora od reaktancji (teraz już reaktancji zespolonych). Można teraz śmiało dodać te wartości, które się zgadzają, czyli reaktancje zespolone, gdyż urojenie w naszym przypadku wskazuje na te same obiekty. Z wzoru na reaktancję zespoloną pojemnościową, wiemy że przy nim należy dopisać nie „j” a „-j”. To już było przerabiane. Zatem – odejmujemy reaktancję – i wychodzi taka oto sytuacja, że wyszło nam na minusie. Oczywiście jest to dobrze – opór bierny może być ujemny, czynny natomiast jest zawsze dodatni. Jeżeli tak jest jak u nas (opór bierny ujemny) to cały nasz układ ma charakter pojemnościowy – w przeciwnym przypadku – indukcyjny. Do naszej impedancji dodajemy jeszcze opór rezystora (zapisując go tylko jako część rzeczywistą otrzymanej wartości zespolonej) i wychodzi nam piękna impedancja zespolona: Z = 150 –j23,914.
Przez wielkie „Z” oznaczamy impedancję, jak już pewnie każdy zauważył. W naszym przypadku mieliśmy do czynienia z prostym obwodem, a co jeśli natkniemy się na bardziej skomplikowany? Otóż zasady obliczania rezystancji zastępczej przy połączeniach mieszanych (równoległych i szeregowych) przenoszą się i tu, pamiętajmy jednak o zachowaniu „zgodności typów”, jakby to programista Delphi powiedział. :)

Teraz zgodnie z prawem Ohma, możemy policzyć prąd w obwodzie – nic prostszego – dzieląc wartość skuteczną napięcia źródła przez naszą impedancję. Czynności takie oczywiście robimy na kalkulatorze – nikt przecież nie będzie pisemnie dzielił liczb zespolonych – chociaż jak ktoś nie ma takiego kalkulatora – niech dzieli.

Po obliczeniu otrzymamy: I = 1,011 + j0,161. Wynik jest w postaci zespolonej, jak to należy rozumieć ? Otóż jest to swoisty rozkład na składową czynną i bierną – umieśćcie liczbę tą na wykres Re =x, Im = y – punkt będzie wskazywał wartość prądu – połączcie go ze środkiem układu. Teraz: długość narysowanego odcinka jest wartością skuteczną prądu jaki płynie, natomiast kąt między nim a osią Re (x) jest przesunięciem fazowym między prądem a napięciem źródła. Jest to nic innego jak zmiana z postaci algebraicznej, na polarną (Eulera, eksponenta). Moduł liczby zespolonej jest wartością skuteczną – to się nie tylko liczy prądu, ale tez napięcia. Kąt w eksponencie jest przesunięciem fazowym. W naszym przypadku wartość skuteczna prądu wyniosła 1,024 A (natomiast przesunięcie fazowe 9,05 [Rad] ). Również dobrze możemy wyliczyć wszystkie napięcia na elementach i ich fazy – wystarczy pomnożyć wyżej obliczony prąd przez opór czynny bądź też reaktancję zespoloną – w zależności od elementu – i analogicznie jak tutaj…

Moc czynna, bierna, pozorna

Przy prądzie stałym liczyliśmy moc jako iloczyn UI, można też zastosować podobny wzór, ponieważ U = IR, to moc można przedstawić również jako P = RII, czyli R * I^{2. Praktycznie częściej stosuje się drugie rozwiązanie, gdyż nie trzeba dodatkowo liczyć napięcia na zaciskach przy każdym elemencie. Od razu będę wyjaśniał na naszym przykładzie. Jak wiemy moce pobrana i oddana muszą się zgadzać. Zastanówmy się pierw czym jest moc bierna. Otóż jest to nic innego jak iloczyn UI (wartości skuteczne) oraz sinus kąta pomiędzy fazą napięcia a prądu. Zaraz wszystko się wyjaśni. Zamiast stosować UI, jak mówiliśmy, stosujemy R*I}2. Moc bierna odnosi się do elementów: cewka oraz kondensator. W przypadku rezystora, gdzie przesunięcie fazowe równe jest zero, sin(fi) też jest równe zero (fi jest oznaczeniem kąta tego przesunięcia – w zasadzie powinna być tu grecka litera oznaczania kąta – ale z uwagi na brak możliwości tego zapisu stosuję formę wymowną). Największą moc bierną uzyskamy oczywiście w sytuacji przesunięcia fazowego 90 stopni – wtedy funkcja trygonometryczna (jako swoisty mnożnik) jest równa 1. Ponieważ „R” we wzorze oznacza opór – bierzemy pod uwagę zespolone wartości reaktancji. Moc bierna pobierana przez dany układ jest zatem równa sumie wszystkich mocy na cewkach i różnicy na kondensatorach (ponieważ przy reaktancji pojemnościowej widnieje znak minus przed urojeniem). Nie trudno wyliczyć, że nasza moc bierna łączna (cewki i kondensatora) wyniesie 25,077 .. no właśnie czego… Otóż jest to jednostka zwana [VA] czyli wolto – amper.

Moc czynna odnosi się do rezystora, zamiast sinusa przesunięcia mamy cosinus. Największa moc czynna wydziela się w przypadku faz prądu i napięcia takich samych. Nie musimy wiele sumować (jeden rezystor) i otrzymujemy, że moc pobrana czynna wynosi 157, 28 (a jednostką jest wat [W] ).

Teraz aby sprawdzić, czy dobrze zostało wszystko obliczone musimy sprawdzić moc pozorną na źródle. Nic trudnego: mnożymy zespoloną postać prądu przez wartość skuteczną napięcia. I co nam wyszło? Taka oto liczba: 157,25 + j25,04. Pierwsza wartość jest równa mocy czynnej (składowa czynna mocy), a druga biernej (składowa moc bierna urojona). Oczywiście jak widać, wartości te nie są dokładnie te same – błąd wynika w przybliżeniu do konkretnego miejsca po przecinku. Jednostką wielkości tej jest [var] – wolto – amper reaktancyjny.

Moc bierną (P), czynną (Q) oraz pozorną (S) można interpretować na zasadzie trójkąta prostokątnego. Moc pozorna jest jego przeciwprostokątną, natomiast bierna i czynna – odpowiednimi przyprostokątnymi. Kąt „fi” to kąt pomiędzy „P” a „S” – zatem nasze mnożniki w postaci funkcji trygonometrycznych mają tu swoje graficzne odbicie – co łatwo sobie uświadomić rysując taki trójkąt (tzw. trójkąt mocy).

Rezonans

W obwodach, w których występuje impedancja rzadko się zdarza aby napięcie było w fazie z prądów, praktycznie nawet się nie dopuszcza takiego zjawiska – jest nie korzystne. Obwód jeśli już taki jest – nazywamy rezonansowy. Rezonans powoduje tzw. obwód drgający – faza prądu i napięcia jest taka sama. Większość elektroników zna na pamięć jak dobrać odpowiednią pulsację w prostym układzie, aby wystąpił rezonans. Niestety – nie wiedzą skąd to się bierze. Dla przykładu weźmiemy nasz wyżej już przerabiany przykład. Naszym celem jest takie dobranie pulsacji napięcia na źródle, aby wystąpił rezonans. Mamy tu zwykłe połączenie szeregowe R, L, C – większość elektroników wie, że pulsacja musi się równać 1/sqrt(L*C) aby był rezonans. Ale jak już wspomniałem – nie będziecie się przecież się uczyć na pamięć wszystkich możliwości połączeń elementów RLC i pulsacji rezonansowych, podam wam przepis, który pozwala na obliczenie pulsacji rezonansowej dla dowolnego połączenie dowolnych elementów.

Jak już wspomniałem, operujemy naszym przykładzikiem. Udowodnimy, że rzeczywiście tyle pulsacja ta wynosi. Jak wiadomo – obliczając prąd dzielimy wartość skuteczną napięcia przez impedancję zespoloną – ale co jeśli urojenie impedancji wyniesie zero? Wtedy dzielenie zwinie się do dzielenia dwóch liczb rzeczywistych.. i siłą rzeczy – wynik będzie liczbą rzeczywistą. Innymi słowy: ponieważ liczby zespolone to uogólnienie liczb rzeczywistych – część urojona wyniku w takim przypadku wyniesie 0. Zatem – wartość skuteczna prądu będzie równa naszemu wynikowi – a zatem: kąt przesunięcia fazowego wyniesie 0. Skoro tak – to faza napięcia będzie równa fazie prądu – zjawisko rezonansu!
To nas prowadzi do tego, aby mianownik w obliczaniu prądu miał zerowe urojenie. Zatem – postarajmy się tak nastawić pulsację napięcia – aby otrzymana w tej operacji impedancja całego układu miała zerową część urojenia. Liczymy impedancję:

Z = R + jomegaL + 1/(jomegaC)
Wyłączamy przed nawias urojenie:
Z = R + j(omegaL – 1/(omegaC))
Zwróćcie uwagę na znaki powyżej. Ponieważ chcemy, aby urojenie impedancji wynosiło 0, musimy po prostu ją brutalnie wyrwać:
jZ = omegaL – 1/(omegaC)
Jest to nic innego jak wartość urojenia, teraz musimy to wyzerować:
0 = omegaL – 1/(omegaC)
Teraz to już chyba każdy umie wyznaczyć pulsację omega, wystarczy sprowadzić do wspólnego mianownika i otrzymujemy:
0 = ((omega^2)LC – 1) / (omegaL)
Skoro ułamek ma być równy 0, to wystarczy wyzerować licznik, od razu:
(omega^2)LC = 1
Stąd:
Omega = 1/sqrt(LC)

Tym sposobem właśnie obliczyliśmy rezonansową pulsację.

Można też rozpatrywać inne przypadku, np. gdy pulsacja jest znana, ale nie znamy pojemności kondensatora, czy też indukcyjności cewki. Wystarczy wyznaczyć z powyższego wzoru. Mam nadzieję, że każdy to zrozumiał. W ramach ćwiczeń proponuje wyliczyć do końca pulsację rezonansową dla naszego przykładu - kalkulator i proste operacje...