V-tec napisał(a)
No wiesz, teraz to ja nie mam pojęcia o czym mówisz :]
Może to dla tego, że nie wiem co to "baza przestrzeni", ani nie znam tej definicji... mimo to moje rozumowanie wydaje mi się poprawne, więc sprawdź jeśli możesz, czy definicja ta dotyczy punktu, który ma nieskończoną ilość niezerowych współrzędnych...
Właśnie o to chodz, że w przestrzeni liniowej nie może być wektorów (punktów), które mają nieskończoną ilość niezerowych współżędnych :P
A to definicje:
Przestrzeń liniowa (V, #, S, +, , .):
gdzie:
V - zbiór wektorów
S - zbiór skalarów
#: V#V -> V - wewnętrzne działanie addytywne w grupie wektorów
+: S+S -> S - wewnętrzne działanie addytywne w ciele skalarów
: S*S -> S - wewnętrzne działanie multiplykatywne w ciele skalarów
.: S.V -> V - działanie zewnętrzne (ale tego nie pamiętam dokładnie :0 )
Przestrzeń liniowa spełnia następujące aksjomaty:
1) K(x,y e S) x+y==y+x //Przemienność dodawania
2) K(x,y,z e S) x+(y+z)==(x+y)+z //Łączność dodawania
3) I(0 e S) K(x e S) x+0==x //Istnienie 'zera'
4) K(x e S) I(p e S) x+m==0 //Istnienie elementu przeciwnego
5) K(x,y e S) x*y==y*x //Przemienność mnożenia
6) K(x,y,z e S) x*(y*z)==(x*y)*z //Łączność Mnożenia
7) K(x,y,z e S) x*(y+z)==x*y+x*z //Rozdzielność mnożenia względem dodawania
8) I(1 e S) K(x e S) 1*x==x //Istnienie 'jedynki'
9) K(x e S) I(c e S) x*c==1 //Istnienie elementu odwrotnego
10) K(v,w e V) v#w==w#v //Przemienność dodawania wektorów
11) K(v e V && x,y e S) (x*y).v==x.(y.v)
12) I(o e V) K(v e V) o#v==v //Istnienie wektora neutralnego
13) K(v e V) I(r e V) v#r==o //Istnienie wektora przeciwnego
14) K(v e V && x,y e S) (x+y).v==x.v#y.v
15) K(v,w e V && x e S) x.(v#w)==x.v#x.w
16) K(v,w e V && x,y e S) x.v#y.w e V
Żeby podać definicję bazy przyda się jeszcze definicja liniowej niezależności wektorów :]
Wektory liniowo niezależne:
Wektory v[1],v[2],...,v[n] e V nazywamy liniowo niezależnymi tylko wtedy gdy:
x[1].v[1]#x[2].v[2]#...#x[n].v[n]==o => x[1]*x[1]+x[2]*x[2]+...+x[n]*x[n]==0
Dla ułatwienia zbiór składający się z n wektorów liniowo niezależnych oznaczę symbolem B[n]
Baza przestrzeni liniowej:
Bazą przestrzeni liniowej (V, #, S, +, *, .) nazywamy największy (tzn składający się z największej liczby elementów) zbiór wektorów liniowo niezależnych zawierający się w V.
Zauważ, że każdy inny wektor tej przestrzeni da się uzyskać poprzez kombinację liniową wektorów z bazy ;) << Czyli dana baza wyznacza nam jednoznacznie przestrzeń liniową której jest bazą :)
A wymiar przestrzeni liniowej jest liczbą wektorów w jej bazie :]
teraz przykład:
Przestrzeń 2D - R^2
(V, #, R, +, *, .)
Bazą tej przestrzeni (chyba najczęściej urzywaną) jest np: {(1;0); (0;1)}
Są to wektory liniowo niezależne bo układ równań:
/ a*1+b*0==0
{
\ a*0+b*1==0
ma dokładnie jedno rozwiązanie a==0 && b==0
Ale to nie jest jedyna baza tej przestrzeni :]
np inną bazą jest: {(1;2); (3;5)}
/ a*1+b*3==0
{
\ a*2+b*5==0
tesz ma dokładnie jedno rozwiązanie a==0 && b==0
Ale bazą jusz nie jest: {(1;1); (2; 2)}
/ a*1+b*2==0
{
\ a*1+b*2==0
bo dla a==2 && b==-1 równania są spełnione, ale aa+bb==22+(-1)(-1)==5!=0
A teraz przykład przestrzeni nieskończenie wymiarowej:
Ponieważ Baza Przestrzeni wyznacza nam jednoznacznie przestrzeń, której jest bazą, wystarczy tylko, że podam jej bazę :]
{1; sin(t); cos(t); sin(2t); cos(2t); sin(3t); cos(3t);...}
jest to przestrzeń liniowa funkcji zmiennej t e R ;P
(F(t), +, R, +, *, *)
Jeśli chcesz to możesz sobie sprawdzić, że nie da się dobrać takich x[1], x[2],... x[n] nie wszystkich równych 0, żeby funkcja
f(t)=x[1]*1+x[2]*sin(t)+x[3]*cos(t)+x[4]*sin(2*t)+x[5]*cos(2*t)+... +x[n]*sin(n*t) była tożsamościowo równa 0
Ja nie będę tego tu udowadniał - nie chce mi się :0
V-tec napisał(a)
Może pokażesz jakiś efekt tego wzoru, bo mi się nie chce pisać (a komu by się chciało dla ciekawości pisać coś takiego w asemblerze :] ) :d
Jak skończę - a podejżewam, że wyjdzie mi z tego tulbox do MatLab'a - to pewnie gdzieś to umieszcze :P
Najprawdopodobniej na stronce mojego roku :]
Jeśli chcesz to wrzucę też tu linka [green]</b>
<font size="1">A i jeszcze pewien drobiazg:
Ponieważ dość często gadam o problemach matematycznych przez gg etc opracowaliśmy z kolegami pewnego rodzaju konwencję zapisu wzorów... No i oczywiście wszystkie zawarte w tym poście są w ten sposób zapisane :]
A to niektóre oznaczenia w tej 'konwencji':
K(...) - 'dla każdego ...'
I(...) - 'istnieje ...'
x e X - 'element x należy do zbioru X'
&& - 'logiczne "i"'
|| - 'logiczne "lub"'
=> - 'znak implikacji ("jeżeli... to...")'
<=> - 'znak równoważności ("wtedy, i tylko wtedy, gdy")'
: - 'takie, że (jak w matematyce)'
== - 'porównanie (jak w C)'
^ - 'potęga'
A z B - 'zbiór A zawiera się w zbiorze B'
<< to chyba wszystko niezbędne do odszyfrowania tego posta [green] </span>
