RSA liczby względnie pierwsze

Rejestracja:prawie 21 lat
Ostatnio:9 dni
Postów:700

Cześć,
mam nietypowe tym razem zagadnienie - matematyczne :)

Próbuję zaimplementować własnymi siłami algorytm RSA. Wszystko idzie ładnie tylko pojawił się problem natury teoretycznej a raczej matematycznej.

Muszę względem jednej liczby n znaleźć drugą, która jest dla niej względnie pierwsza i spełnia warunek 0<x<n.

Czy liczby są względnie pierwsze sprawdzam algorytmem NWD(x,n) (algorytm Euklidesa). Liczbę x po prostu sobie losuję i potem ją zwiększając sprawdzam dla każdej czy spełnia warunek nwd=1.

Zauważyłem, że taki warunek spełnia każda liczba pierwsza (chyba, że za mało sprawdziłem). Zaciekawiło mnie to bo jest też twierdzenie mówiące o tym, że jeżeli dwie liczby są względnie pierwsze, to ich iloczyn jest jednocześnie ich najmniejszą wspólną wielokrotnością.

Z ciekawości sprawdziłem kalkulatorem sprawdzającym czy liczby są względnie pierwsze: http://www.math.edu.pl/narzedzia.php?opcja=wzglednie-pierwsze
losowe 1000 liczb pierwszy stąd: http://www.algorytm.edu.pl/algorytmy-maturalne/badanie-czy-liczba-pierwsza/1000-liczb-pierwszych-1.html

I zawsze mi wyszło, że takie liczby są względnie pierwsze ;)
Trochę mi to zamieszało bo zacząłem się zastanawiać czy zamiast szukać NWD tych liczb nie mogę po prostu użyć jakies funkcji dostepnej w module matematycznym z którego korzystam i poszukać liczby bliskiej tej x, która jest jednocześnie liczbą pierwszą?

A może logicznie patrząc to szukanie NWD(x,n)=1 jest właściwie szukaniem liczby pierwszej i nie ma znaczenia czy poszukam tego w ten sposób czy korzystając z jakieś funkcji z modułu matematycznego.

Prosze o pomoc i ewentualnie wyjaśnienie :)

edytowany 1x, ostatnio: karpov 2016-11-18 15:16

bogdans

2016-11-18 15:39

bogdans2016-11-18 15:39

Moderator

Rejestracja:ponad 16 lat
Ostatnio:prawie 5 lat

Zauważyłem, że taki warunek spełnia każda liczba pierwsza (chyba, że za mało sprawdziłem). Zaciekawiło mnie to

A mnie zaszokowało, że Ciebie to zaciekawiło - to jest oczywiste z definicji liczb względnie pierwszych.
A co do algorytmu, ja bym brał kolejne liczby pierwsze (2,3,...) i za x wziąłbym pierwszą z tych liczb pierwszych, która nie jest dzielnikiem dla n.

karpov 2016-11-18 16:45

Nie miałem do czynienia (albo dawno temu) z takim zagadnieniem więc dla mnie "liczba pierwsza" nie jest jednoznaczne z "liczba względnie pierwsza".

bogdans 2016-11-18 17:36

Bo te pojęcia nie są jednoznaczne, ale wynikanie pierwsza => względnie pierwsza jest oczywiste. A ciebie zdziwiło właśnie to wynikanie.

karpov 2016-11-18 17:44

Dla mnie nie było ;) Ale już wiem, dzieki

Shalom

2016-11-18 16:29

~~Shalom~~2016-11-18 16:29

Rejestracja:około 21 lat
Ostatnio:prawie 3 lata
Lokalizacja:Space: the final frontier
Postów:26433

Nie wybieraj losowo e, bo możesz sobie tylko zaszkodzić. Weź 65537 i będzie ok o ile nie jest to akurat żadna z liczb pierwszych dzielących modulusa (nie powinna bo jest za mała).

karpov

2016-11-18 16:38

karpov2016-11-18 16:38

Rejestracja:prawie 21 lat
Ostatnio:9 dni
Postów:700

Czyli w generowaniu e nie chodzi o to żeby był jakąś dużą liczbą?

Szczerze to miałem plan żeby wygenerować e mające kilkanaście cyfr ;) Z tego co wyczytałem to klucze powinny być sporymi liczbami.

Mogłem jednak coś źle zinterpretować, dopiero zapoznaje się z tematem.

Shalom

2016-11-18 22:14

~~Shalom~~2016-11-18 22:14

Rejestracja:około 21 lat
Ostatnio:prawie 3 lata
Lokalizacja:Space: the final frontier
Postów:26433

Za duże też nie jest dobre bo może być podatne na atak Wienera ;)

karpov

2016-11-19 15:51

karpov2016-11-19 15:51

Rejestracja:prawie 21 lat
Ostatnio:9 dni
Postów:700

Wygenerowałem swoim algorytmem poniższe pary kluczy:

PUBLICZNY
e:
65,537
n:
4,799,999,530,335,276,807,414,490,505,112,058,809,711,991,769,010,571,224,624,757,409

PRYWATNY
d:
3,733,609,656,497,877,623,503,799,113,158,825,281,650,214,204,706,419,405,082,921,413
n:
4,799,999,530,335,276,807,414,490,505,112,058,809,711,991,769,010,571,224,624,757,409

Czy takie przykładowe pary kluczy zapewnią względne bezpieczeństwo szyfrowanym danym? Teraz to już kwestia ustawienia parametrów w moim algorytmie więc chciałbym żeby generowane klucze były najbardziej optymalne pod względem bezpieczeństwa - jeżeli chodzi o długość kluczy.

d, n mają po 64 znaki.

Shalom

2016-11-19 16:25

~~Shalom~~2016-11-19 16:25

Rejestracja:około 21 lat
Ostatnio:prawie 3 lata
Lokalizacja:Space: the final frontier
Postów:26433

Twoje n ma 212 bitów czyli faktoryzuje się w yafu w kilka sekund. Nie, to nie jest dobry modulus.
Weź coś co ma przynajmniej 1024 bity i jednocześnie czynniki nie są zbliżone do siebie. Niech jeden będzie np 2-3 rzędy wielkosci mniejszy.

karpov

2016-11-19 17:13

karpov2016-11-19 17:13

Rejestracja:prawie 21 lat
Ostatnio:9 dni
Postów:700

Czynniki nie są zbliżone do siebie - aktualnie mam z tym problem bo algorytm zawsze wyrzuca d i n zbliżone do siebie. Napisałem go na podstawie różnych wzorów znalezionych w necie.

Kopiuj

n:
66,255,706,945,568,064,468,567,953,793,008,646,425,713,814,153,786,373,482,497,108,025,509,907,004,353,597,561,323,952,739,431,160,595,506,107,038,383,728,752,154,150,736,986,833,162,916,545,482,035,346,075,488,546,491,268,746,908,352,099,763,256,884,094,874,372,899,370,681,536,346,745,596,743,057,765,895,442,191,919,040,257,194,255,685,758,943,165,228,866,426,698,712,751,149,114,824,450,420,270,480,604,020,444,901,502,865,163,021,648,317,965,071,423,730,199,539,698,721,996,930,667,194,049,955,083,558,122,736,893,056,949,199,958,488,605,775,836,425,675,856,891,461,444,414,266,696,794,499,579,752,082,381,214,001,255,289,933,881,278,490,197,986,946,062,876,835,403,937,177,839
e:


e:
65,537


d:
19,160,846,754,342,608,387,212,848,135,234,949,352,374,291,158,532,022,164,788,862,602,918,798,044,669,632,949,017,698,037,298,606,691,893,544,817,408,285,564,483,843,003,465,392,815,306,731,869,341,225,783,431,259,008,636,595,513,282,532,719,120,614,679,496,375,933,621,809,468,824,936,589,942,645,739,612,986,799,265,171,887,553,637,304,299,547,218,084,335,573,483,696,152,995,888,016,030,800,697,267,104,597,078,806,709,001,900,281,468,795,504,296,720,049,382,979,421,823,573,300,891,264,813,962,675,758,510,697,582,377,256,681,162,637,506,143,874,065,682,429,183,472,632,712,448,132,759,434,170,516,324,450,022,829,665,396,974,751,744,607,509,751,816,645,402,776,040,569,915,929

d licze korzystając ze wskazówek na tej stronie: http://eduinf.waw.pl/inf/alg/001_search/0067.php#Program_kodowania_RSA

a dokładnie:

Oblicz liczbę odwrotną modulo Ø do liczby e, czyli spełniającą równanie d × e mod Ø = 1. Można to zrobić przy pomocy rozszerzonego algorytmu Euklidesa, który umieściliśmy w naszym artykule.

funkcja:

Kopiuj

var a,b,u,w,x,z,q : longint;

begin
  readln(a,b);
  u := 1; w := a;
  x := 0; z := b;
  while w <> 0 do
  begin
    if w < z then
    begin
      q := u; u := x; x := q;
      q := w; w := z; z := q;
    end;
    q := w div z;
    u := u - q * x;
    w := w - q * z;
  end;
  if z = 1 then
  begin
    if x < 0 then inc(x,b);
    writeln(x);
  end
  else writeln('BRAK');

Shalom

2016-11-20 00:08

~~Shalom~~2016-11-20 00:08

Rejestracja:około 21 lat
Ostatnio:prawie 3 lata
Lokalizacja:Space: the final frontier
Postów:26433

Nie no chyba nie rozumiesz za bardzo co robisz. d to sie wylicza zawsze jednoznacznie przez modinv i ono moze być duże, to cię nie obchodzi. Ja mówie o p i q które dają n=p*q. Te liczby nie powinny być blisko siebie bo to ułatwia faktoryzacje.

karpov

2016-11-20 18:19

karpov2016-11-20 18:19

Rejestracja:prawie 21 lat
Ostatnio:9 dni
Postów:700

Aaaa już rozumiem :) Nie bardzo wlaśnie wiedzialem co masz na mysli piszac 'czynniki' ;)

Teraz już wszystko jasne. Postaram się to poprawic i wrzuce ostateczne wyniki z prosba o opinie czy tym razem bedzie ok.

karpov

2016-11-21 05:18

karpov2016-11-21 05:18

Rejestracja:prawie 21 lat
Ostatnio:9 dni
Postów:700

@Shalom prosiłbym Cie ostatni raz o rzucenie okiem oraz na opinię.

Wygenerowałem tym razem taki zestaw liczb. Czy wystarczy to na bezpieczne (względnie) szyfrowanie danych?

Kopiuj

Generuje dwie liczby pierwsze
1: (512 cyfr)

57,308,454,411,913,294,890,006,515,788,292,302,725,875,613,660,744,225,597,079,500,644,945,648,474,286,731,093,174,896,360,564,764,196,735,799,689,875,562,354,299,236,198,387,958,313,100,597,889,318,226,643,132,363,652,602,789,753,947,248,903,243,454,589,220,995,910,813,875,537,524,620,656,372,596,195,281,657,223,519,768,012,373,713,907,485,297,310,281,381,388,182,178,475,965,373,589,606,154,079,059,253,295,730,343,572,345,113,663,347,801,182,459,545,771,934,948,984,802,995,718,236,849,055,652,784,544,991,463,087,374,596,740,535,488,514,503,636,209,804,552,979,008,371,828,717,944,106,553,026,583,618,598,816,069,092,680,107,233,342,120,824,965,422,538,976,235,519,355,764,427

2: (128 cyfr)
58,972,678,671,748,230,744,588,146,159,099,243,603,791,485,268,635,424,160,694,886,985,983,639,455,087,101,010,008,100,873,087,228,034,195,747,276,007,255,900,384,301,323

licze fi:
3,379,633,067,208,294,961,377,042,259,124,572,111,722,991,636,377,699,224,798,124,244,740,173,570,936,209,090,053,543,861,546,567,647,483,515,247,037,085,824,784,840,949,421,061,181,045,409,264,237,202,666,890,411,434,124,226,635,353,869,764,873,330,761,520,724,150,380,341,149,067,616,257,315,789,611,337,246,353,738,876,061,732,831,735,003,876,810,823,786,243,671,815,868,722,188,390,034,936,966,141,410,598,714,680,461,118,119,581,436,410,270,848,673,931,397,628,441,091,999,383,735,924,285,306,264,913,539,639,132,584,585,731,217,671,961,553,941,554,011,081,707,820,941,198,533,143,815,479,547,583,370,618,125,541,290,022,992,070,522,795,709,567,245,985,300,035,384,471,325,326,917,438,044,268,944,763,512,559,774,347,335,150,359,848,433,567,142,166,823,103,306,544,277,562,525,625,812,830,069,924,227,813,954,798,609,260,903,770,390,257,232,371,172

licze n:
3,379,633,067,208,294,961,377,042,259,124,572,111,722,991,636,377,699,224,798,124,244,740,173,570,936,209,090,053,543,861,546,567,647,483,515,247,037,085,824,784,840,949,478,369,635,457,322,559,127,209,182,678,703,736,850,102,249,014,613,990,470,410,262,165,669,798,854,627,880,160,791,153,676,354,375,533,982,153,428,751,624,087,130,971,202,264,769,136,886,841,561,134,095,365,320,753,687,539,755,895,357,847,617,923,915,707,340,577,347,224,146,386,198,552,054,001,037,287,281,040,959,444,053,318,638,627,447,124,429,894,867,112,605,854,140,029,906,927,600,687,861,900,000,451,828,874,159,051,892,697,033,965,926,723,749,568,764,005,471,780,512,562,964,222,149,091,037,255,870,318,439,498,097,537,433,529,745,662,424,142,644,198,516,618,927,207,606,308,927,904,746,556,844,820,579,528,982,932,758,132,334,243,303,657,770,430,718,753,881,676,972,436,921

e:
65,537

liczymy d:
1,864,349,516,742,931,286,733,665,086,807,920,038,377,120,048,674,229,215,162,832,992,356,859,409,342,154,313,329,962,787,837,298,932,808,513,156,325,919,157,475,111,079,915,461,874,640,808,720,722,150,663,229,764,019,987,078,528,891,289,708,248,249,492,977,382,855,618,970,559,565,459,672,410,054,500,796,122,303,839,382,123,988,389,241,429,958,013,667,277,172,703,467,645,786,552,281,382,014,375,649,029,058,018,094,247,689,143,189,765,636,823,809,330,738,999,625,570,758,488,391,598,713,256,430,373,612,145,788,997,975,655,399,861,337,785,160,438,363,095,085,783,341,478,663,206,566,494,667,624,147,910,309,551,744,728,293,959,630,828,549,266,643,035,905,008,654,336,554,798,427,514,932,597,074,250,576,548,660,657,673,973,597,982,202,426,396,583,468,226,431,692,654,458,805,224,361,048,129,232,616,241,331,734,864,795,773,524,177,348,962,719,103,941

pozdrawiam!

Shalom

2016-11-21 05:27

~~Shalom~~2016-11-21 05:27

Rejestracja:około 21 lat
Ostatnio:prawie 3 lata
Lokalizacja:Space: the final frontier
Postów:26433

To zależy jak mocno losowo generujesz te liczby pierwsze. Im mniej losowo tym gorzej. Jeśli nie masz jakiegoś dobrego źródła entropii to raczej będzie słabo.
Ta druga liczba pierwsza jest trochę dziwna bo dość mała w porównaniu do pierwszej. Powinny raczej być podobnego rozmiaru, może 1-2 rzędy wielkości różnicy, a u ciebie jest o wiele wiele więcej. Niemniej obie liczby są wystarczająco duże że nie powinno to powodować wielkiego problemu.
Pamiętaj też że są pewne dodatkowe zasady których trzeba się trzymać uzywając RSA ->

dodawać koniecznie padding pkcs7, inaczej jesteś podatny na ataki homomorficzne
nie wysyłać tej samej wiadomości dla wielu różnych modulusów jeśli nie użwasz paddingu, bo jesteś podatny na hastad broadcast attack
nie umożliwiać atakującemu uzyskania informacji na temat czasu szyfrowania / zużycia cpu w trakcie szyfrowania, bo istnieje wtedy dla niektórych algorytmów potęgowania modularnego podatność simple power analysis

Ale tak generalnie to nie zalecam implementowania szyfrowania samodzielnie do celów inne niż edukacyjne.

karpov

2016-11-21 07:13

karpov2016-11-21 07:13

Rejestracja:prawie 21 lat
Ostatnio:9 dni
Postów:700

Dzięki wielkie. Z tego co widzę to jest zagadnienie dość rozległe i nie wystarczy prosty algorytm generujący liczby aby szyfrowanie było bezpieczne. Chcę to po prostu zaimplementować do swojej aplikacji, którą piszę w ramach nauki :) Do poważniejszych projektów chyba warto zaznajomić się np. z OpenSSL.

Liczba odpowiedzi na stronę

Treść *

Treść

Podgląd

Kliknij, aby dodać treść...

Kliknij, aby dodać załącznik lub wklej ze schowka.

Instrukcja obsługi Markdown

Pomoc 1.18.8

Typografia

Edytor obsługuje składnie Markdown, w której pojedynczy akcent *kursywa* oraz _kursywa_ to pochylenie. Z kolei podwójny akcent **pogrubienie** oraz __pogrubienie__ to pogrubienie. Dodanie znaczników ~~strike~~ to przekreślenie.

Możesz dodać formatowanie komendami , , oraz .

Ponieważ dekoracja podkreślenia jest przeznaczona na linki, markdown nie zawiera specjalnej składni dla podkreślenia. Dlatego by dodać podkreślenie, użyj underline.

Komendy formatujące reagują na skróty klawiszowe: Ctrl+B, Ctrl+I, Ctrl+U oraz Ctrl+S.

Linki

By dodać link w edytorze użyj komendy lub użyj składni [title](link). URL umieszczony w linku lub nawet URL umieszczony bezpośrednio w tekście będzie aktywny i klikalny.

Jeżeli chcesz, możesz samodzielnie dodać link: <a href="link">title</a>.

Wewnętrzne odnośniki

Możesz umieścić odnośnik do wewnętrznej podstrony, używając następującej składni: [[Delphi/Kompendium]] lub [[Delphi/Kompendium|kliknij, aby przejść do kompendium]]. Odnośniki mogą prowadzić do Forum 4programmers.net lub np. do Kompendium.

Wspomnienia użytkowników

By wspomnieć użytkownika forum, wpisz w formularzu znak @. Zobaczysz okienko samouzupełniające nazwy użytkowników. Samouzupełnienie dobierze odpowiedni format wspomnienia, zależnie od tego czy w nazwie użytkownika znajduje się spacja.

Znaczniki HTML

Dozwolone jest używanie niektórych znaczników HTML: <a>, , , <kbd>, <del>, , <dfn>, <pre>, <blockquote>, <hr/>, ,  oraz <img/>.

Skróty klawiszowe

Dodaj kombinację klawiszy komendą notacji klawiszy lub skrótem klawiszowym Alt+K.

Reprezentuj kombinacje klawiszowe używając taga <kbd>. Oddziel od siebie klawisze znakiem plus, np <kbd>Alt+Tab</kbd>.

Indeks górny oraz dolny

Przykład: wpisując H2O i m2 otrzymasz: H₂O i m².

Składnia Tex

By precyzyjnie wyrazić działanie matematyczne, użyj składni Tex.

<tex>arcctg(x) = argtan(\frac{1}{x}) = arcsin(\frac{1}{\sqrt{1+x^2}})</tex>

Kod źródłowy

Krótkie fragmenty kodu

Wszelkie jednolinijkowe instrukcje języka programowania powinny być zawarte pomiędzy obróconymi apostrofami: `kod instrukcji` lub ``console.log(`string`);``.

Kod wielolinijkowy

Dodaj fragment kodu komendą . Fragmenty kodu zajmujące całą lub więcej linijek powinny być umieszczone w wielolinijkowym fragmencie kodu. Znaczniki ``` lub ~~~ umożliwiają kolorowanie różnych języków programowania. Możemy nadać nazwę języka programowania używając auto-uzupełnienia, kod został pokolorowany używając konkretnych ustawień kolorowania składni:

```javascript document.write('Hello World'); ```

Możesz zaznaczyć również już wklejony kod w edytorze, i użyć komendy by zamienić go w kod. Użyj kombinacji Ctrl+`, by dodać fragment kodu bez oznaczników języka.

Tabelki

Dodaj przykładową tabelkę używając komendy . Przykładowa tabelka składa się z dwóch kolumn, nagłówka i jednego wiersza.

Wygeneruj tabelkę na podstawie szablonu. Oddziel komórki separatorem ; lub |, a następnie zaznacz szablonu.

nazwisko;dziedzina;odkrycie
Pitagoras;mathematics;Pythagorean Theorem
Albert Einstein;physics;General Relativity
Marie Curie, Pierre Curie;chemistry;Radium, Polonium

Użyj komendy by zamienić zaznaczony szablon na tabelkę Markdown.

Lista uporządkowana i nieuporządkowana

Możliwe jest tworzenie listy numerowanych oraz wypunktowanych. Wystarczy, że pierwszym znakiem linii będzie * lub - dla listy nieuporządkowanej oraz 1. dla listy uporządkowanej.

Użyj komendy by dodać listę uporządkowaną.

1. Lista numerowana
2. Lista numerowana

Użyj komendy by dodać listę nieuporządkowaną.

* Lista wypunktowana
* Lista wypunktowana
** Lista wypunktowana (drugi poziom)

Składnia Markdown

Edytor obsługuje składnię Markdown, która składa się ze znaków specjalnych. Dostępne komendy, jak formatowanie , dodanie tabelki lub fragmentu kodu są w pewnym sensie świadome otaczającej jej składni, i postarają się unikać uszkodzenia jej.

Dla przykładu, używając tylko dostępnych komend, nie możemy dodać formatowania pogrubienia do kodu wielolinijkowego, albo dodać listy do tabelki - mogłoby to doprowadzić do uszkodzenia składni.

W pewnych odosobnionych przypadkach brak nowej linii przed elementami markdown również mógłby uszkodzić składnie, dlatego edytor dodaje brakujące nowe linie. Dla przykładu, dodanie formatowania pochylenia zaraz po tabelce, mogłoby zostać błędne zinterpretowane, więc edytor doda oddzielającą nową linię pomiędzy tabelką, a pochyleniem.

Skróty klawiszowe

Skróty formatujące, kiedy w edytorze znajduje się pojedynczy kursor, wstawiają sformatowany tekst przykładowy. Jeśli w edytorze znajduje się zaznaczenie (słowo, linijka, paragraf), wtedy zaznaczenie zostaje sformatowane.

Ctrl+B - dodaj pogrubienie lub pogrub zaznaczenie
Ctrl+I - dodaj pochylenie lub pochyl zaznaczenie
Ctrl+U - dodaj podkreślenie lub podkreśl zaznaczenie
Ctrl+S - dodaj przekreślenie lub przekreśl zaznaczenie

Notacja Klawiszy

Alt+K - dodaj notację klawiszy

Fragment kodu bez oznacznika

Alt+C - dodaj pusty fragment kodu

Skróty operujące na kodzie i linijkach:

Alt+L - zaznaczenie całej linii
Alt+, Alt+ - przeniesienie linijki w której znajduje się kursor w górę/dół.
Tab/⌘+] - dodaj wcięcie (wcięcie w prawo)
Shit+Tab/⌘+[ - usunięcie wcięcia (wycięcie w lewo)

Dodawanie postów:

Ctrl+Enter - dodaj post
⌘+Enter - dodaj post (MacOS)

RSA liczby względnie pierwsze

Shalom

Shalom

Shalom

Shalom

Shalom

Smileys & People

Animals & Nature

Food & Drink

Travel & Places

Activities

Objects

Symbols

Typografia

Linki

Wewnętrzne odnośniki

Wspomnienia użytkowników

Znaczniki HTML

Skróty klawiszowe

Indeks górny oraz dolny

Składnia Tex

Kod źródłowy

Krótkie fragmenty kodu

Kod wielolinijkowy

Tabelki

Lista uporządkowana i nieuporządkowana

Składnia Markdown

Skróty klawiszowe