Absolutne podstawy trygonometrii

Trygonometrię można wykorzystywać do niezliczonej ilości rzeczy, jednym słowem Sin i Cos oraz cala reszta funkcji trygonometrycznych to niewyobrażalnie ważne funkcje. Możesz je użyć do:

1. Wyznaczania długości boków w trójkącie. Mając dany jeden kat w trójkącie i jeden bok możesz wyznaczyć WSZYSTKIE inne katy i boki. Jak to zrobić?
   Zacznijmy od trójkąta prostokątnego. Pozwolę sobie na psedorysunek pomocniczy.

                 C
                /|
              /  |
            /    |
          /      |
        /        |
      /          |
    /            |
  /              |
/________*|
A               B

Niech kat BAC będzie katem alfa o kącie 60*, a długość odcinka BC wynosi 10.

OK. Rysunek już mamy. Teraz może teoria sinusa dla kąta w trójkącie prostokątnym. OK?

Sinus kata alfa w trójkącie prostokątnym jest równy stosunkowi przyprostokątnej przeciwległej do kata alfa do przeciwprostokątnej.

W naszym przykładzie sin alfa = |BC|/|AC|.
Jak już powiedzieliśmy rozwartość kąta alfa wynosi 60*, a sin dla tego właśnie kata wynosi sqrt(3)/2 (sqrt czyt. pierwiastek z 3). Tak więc, aby wyznaczyć długość przeciwprostokątnej wystarczy przekształcić równanie:

sin alfa = |BC|/|AC| / |AC| (obustronne mnożenie przez |AC|)
sin alfa|AC| = |BC| / :sin alfa
|AC| = |BC|/sin alfa

podstawmy teraz dane nam wartości:

|AC| = 10sqrt(3)/2
|AC| = 5sqrt(3)

Długość przeciwprostokątnej wynosi 5 pierwiastków z 3.

Skąd wiedziałem, że sin 60* wynosi sqrt(3)/2? Otóż jest taka sympatyczna tabelka

       30*           45*           60*

sin 1/2 sqrt(2)/2 sqrt(3)/2
cos sqrt(3)/2 sqrt(2)/2 1/2
tg sqrt(3)/3 1 sqrt(3)
ctg sqrt(3) 1 sqrt(3)/3

Podam jeszcze przykład dla cosinusa. Korzystając jeszcze z danych z poprzedniego trójkącika policzmy druga przyprostokątna |AB|. Pierw tez zarzucę teoria.

Cosinus kata alfa w trójkącie prostokątnym równy jest stosunkowi przyprostokątnej przyległej do kata alfa do przeciwprostokątnej.
W naszym przykładzie coś alfa = |AB|/|AC|.
Tak wiec mamy dane juz:
|BC| = 10
|AC| = 5*sqrt(3)
cos alfa = 1/2
przekształćmy nasze równanie

cos alfa = |AB|/|AC| /* |AC|
|AB| = cos alfa*|AC|
Podstawiamy co nam jest dane:
|AB| = 1/25sqrt(3)

              5*sqrt(3)
|AB| = ----------------
                   2

Mając dane dwie długości boków moglibyśmy wyznaczyć trzeci z twierdzenia Pitagorasa, ale zwróć uwagę, ze nie korzystaliśmy (w tym przykładzie z cosinusem) z długości |BC|. Tak wiec nawet, gdyby ta długość nie była nam dana to i tak moglibyśmy policzyć długość odcinka |AB|.
Jak zapewne zauważyłeś przy przekształcaniu równań przekształcaliśmy je tak, aby wyznaczyć nasza wielkość szukana.

Sa jeszcze funkcje tg (czyt. tangens) i ctg (czyt. cotangens). Dla nich juz nie bede dawal przykladow,Sadze, ze sam zrozumiesz jak dzialaja z poprzednich przykladow. Podam natomiat teorie:).

Tangensem kata alfa nazywamy stosunek przyprostokatnj przeciwleglej do kata alfa do drugiej przyprostokatnej.

Cotangensem kata alfa nazywamy sotsunek przyprostokatnej przyleglejdo kata alfa do drugiej przyprostokatnej.

Dla naszego trojkata "narysowanego" wyzej bedzie to wygladalo tak:
tg alfa = |BC|/|AB|
ctg alfa = |AB|/|BC|

Jak zauważyłeś w naszej tabelce (tej wyżej:) ) są podane tylko katy 30*, 45* i 60*. A co jeśli kąt będzie inny niż te wartości? Otóż wtedy musisz się posłużyć tablica funkcji trygonometrycznych, gdzie masz podane wartości sin, cos, tg i ctg dla wszystkich kątów.

Może podam jeszcze przydatne wzory przekształceń dla tych funkcji:

sin^{2(alfa) + cos}2(alfa) = 1
tg(alfa) = sin(alfa)/cos(alfa)
ctg(alfa) = cos(alfa)/sin(alfa)
tg(alfa) = 1/ctg(alfa)
sin(alfa) = cos(90 - alfa)
cos(alfa) = sin(90 - alfa)

1. Funkcje trygonometryczne używamy także do wyznaczania boków/kątów w dowolnych trójkątach:
   Narysujmy pseudotrojkat:

                                             
                                             *
                                           * *
                                         *    *
                                       *       *        
                                     *          *
                                   *             *
                                 *                *
                               *                   *  b
                           c *                      *
                           *                         * 
                         *                            *
                       *                               * 
                     *                                  *
                   *                                     *
                 *************************
                                       a         

Niech na przeciwko boku a będzie kąt alfa, na przeciwko boku b kąt beta i na przeciwko boku c kąt gama.
Twierdzenie sinusów:

a/sin(alfa) = b/sin(beta) = c/sin(gama) = 2R

R - Promień okręgu opisanego na tym trójkącie

Twierdzenie cosinusow:
a^{2 = b}2 + c^2 - 2bccos(alfa)
b^{2 = a}2 + c^2 - 2bccos(beta)
c^{2 = a}2 + b^2 - 2ab*cos(gama)

1. Do obliczania pola rożnych figur
   Mamy dane w trójkącie długości 2 boków a i b oraz kat alfa zawarty miedzy nimi. Pole powierzchni wynosi:
   Pp = ab*sin(alfa)

Mamy dany bok rabu oraz kat alfa zawarty miedzy tymi bokami. Pole powierzchni wynosi:
Pp = a^2*sin(alfa)

Mamy dane w w równoległoboku długości 2 boków a i b oraz kat alfa zawarty miedzy nimi. Pole powierzchni wynosi:
Pp = ab*sin(alfa)

itd.

1. Jeszcze mnóstwo innych zastosowań funkcji trygonometrycznych jest. Np. do przedstawiania przestrzeni na ekranie monitora używa się bardzo dużo funkcji trygonometrycznych i do wielu jeszcze innych rzeczy o których mi jeszcze nie jest wiadomo:)

Poszukaj sobie jeszcze o wykresach funkcji trygonometrycznych. Tylko, ze argumentami w tych wykresach sa katy podane w radianach, a radian to nic innego jak miara kąta lukowego.

kat w radianach = (alfa/180)*Pi

BTW. Mam nadzieje, ze zrozumiałeś funkcje trygonometryczne i ze nie zrobiłem żadnego błędu:)