Liczba PI, niewymierność i dokładność pomiarów

Tło

Już-nie-pamiętam-z-jakiego-powodu przypomniałem sobie dziś na Wikipedii, że liczba PI jest niewymierna.

Wprowadzenie

Na początek dwa założenia (z Wikipedii):

1. Pierwsze ze strony https://pl.wikipedia.org/wiki/Liczby_wymierne:

Liczby wymierne – liczby, które można zapisać w postaci ilorazu dwóch liczb całkowitych, gdzie druga jest różna od zera.

1. Drugie ze strony https://pl.wikipedia.org/wiki/Pi:

Liczba π jest definiowana jako stosunek obwodu koła do długości jego średnicy.

Powyższy twierdzenia stoją w sprzeczności z moją intuicją, że liczby niewymiernej nie można "zmierzyć" (cokolwiek rozumieć pod pojęciem "mierzenia"). Żeby się więc doedukować – może popełniłem błąd w rozumowaniu? – przeczytałem następujące dwa wątki na StackExchange (wszystkie odpowiedzi i wszystkie komentarze):

• https://math.stackexchange.com/questions/1179600/why-is-pi-considered-irrational-if-it-can-be-expressed-as-ratio-of-circumference
• https://math.stackexchange.com/questions/184675/why-is-pi-irrational-if-it-is-represented-as-c-d

Informacje z tych wątków zmusiły mnie do przyjęcia roboczego założenia, że w przypadku każdego koła:

• albo jego obwód jest niewymierny;
• albo długość jego średnicy jest niewymierna.

Domyślam się, że takie założenie też przyjmuje się, twierdząc, że liczba PI jest niewymierna.

Właściwe pytanie

Nie rozumiem jednak, dlaczego powyższe założenie jest prawdziwe?

Domyślam się, że któraś z definicji pojęć przeze mnie użytych/przeczytanych jest niedokładna.

@cerrato, @LukeJL – wołam, w razie gdybyście chcieli wiedzieć.

Obwód koła jest zdefionwany przez PI, albo średnica, jak słusznie pisza na stackexchange; a tu dowód niewymierności PI:
https://en.wikipedia.org/wiki/Proof_that_%CF%80_is_irrational

Silv napisał(a):

Informacje z tych wątków zmusiły mnie do przyjęcia roboczego założenia, że w przypadku każdego koła:

• albo jego obwód jest niewymierny;
• albo długość jego średnicy jest niewymierna.

Domyślam się, że takie założenie też przyjmuje się, twierdząc, że liczba PI jest niewymierna.

Właściwe pytanie

Nie rozumiem jednak, dlaczego powyższe założenie jest prawdziwe?

Brakuje Ci jeszcze trzeciej opcji, że i obwód i średnica są niewymierne.

Tyle, że to co przedstawiłeś powyżej, to nie jest założenie. Założenie to coś co możemy przyjmować w ramach danej aksjomatyki, ale nie musimy. Możemy założyć, że 2 proste są równoległe, ale przecież w aksjomatyce euklidesowej nie musi być to prawda dla dowolnych dwóch prostych. Tymczasem, to co napisałeś to jest wniosek, lub nawet parafraza twierdzenia o niewymierności liczby PI. Zatem, jeśli szukasz wyjaśnienia prawdziwości, musisz szukać dowodu tego twierdzenia, a gdzie go znajdziesz napisał wyżej @lion137.

Liczba pi jest wymierna w arytmetyce zmiennoprzecinkowej ;)

To jest kwestia reprezentacji liczb, w tym przypadku w systemie dziesiętnym. PI jest liczbą skończoną, podobnie jak pierwiastek z dwóch. Narysuj sobie trójkąt prostokątny o przyprostokątnych = 1. Przeciwprostokątna będzie miała długość sqrt(2). Podobnie, skończoną liczbą jest 1/3, w rozwinięciu dziesiętnym jest to jednak 0.3(3). Swoją drogą wykażmy błyskawicznie, że 9.9999... = 1:

9.9(9) = x / *10
99.9(9) = 10x / - 9.9(9) # a to jest równe x
99.9(9) - 9.9(9) = 10x - x
90 = 9x / : 9
x = 1

Co dowodzi temu, że 0.33333... jest skończone, pomimo że ma nieskończenie wiele cyfr w rozwinięciu dziesiętnym.

lion137 napisał(a):

Obwód koła jest zdefionwany przez PI, albo średnica, jak słusznie pisza na stackexchange; a tu dowód niewymierności PI:
https://en.wikipedia.org/wiki/Proof_that_%CF%80_is_irrational

Dziękuję, niemniej to nie odpowiada na moje wątpliwości. W tym dowodzie nie ma wspomnianych ani średnicy, ani obwodu.

GutekSan napisał(a):

Brakuje Ci jeszcze trzeciej opcji, że i obwód i średnica są niewymierne.

Prawda, niemniej wydaje mi się, że w potocznym rozumieniu – takim, w jakim jest moje pytanie – wystarczy to, co napisałem (nie chcę zaciemniać obrazu zbędnymi szczegółami).

Tyle, że to co przedstawiłeś powyżej, to nie jest założenie. Założenie to coś co możemy przyjmować w ramach danej aksjomatyki, ale nie musimy. Możemy założyć, że 2 proste są równoległe, ale przecież w aksjomatyce euklidesowej nie musi być to prawda dla dowolnych dwóch prostych. Tymczasem, to co napisałeś to jest wniosek, lub nawet parafraza twierdzenia o niewymierności liczby PI.

Prawda. Przyjąłem potoczne rozumienie, czego nie zaznaczyłem.

Zatem, jeśli szukasz wyjaśnienia prawdziwości, musisz szukać dowodu tego twierdzenia, a gdzie go znajdziesz napisał wyżej @lion137.

Z tego, co widzę, to w przytoczonym dowodzie nie ma słowa o średnicy oraz obwodzie, a ta kwestia mnie interesuje. Chyba że źle rozumuję.

Pyxis napisał(a):

To jest kwestia reprezentacji liczb, w tym przypadku w systemie dziesiętnym. PI jest liczbą skończoną, podobnie jak pierwiastek z dwóch.

Też o tym myślałem. Ale powyższe dwie definicje nie uwzględniają pojęcia reprezentacji liczb. Jak w takim razie je rozumieć?

Dziękuję, niemniej to nie odpowiada na moje wątpliwości. W tym dowodzie nie ma wspomnianych ani średnicy, ani obwodu.

Nie musi być, to jest tylko definicja, a nie dowód. Weź pierwiastek z dwóch, taka liczba podniesiona do kwadratu dająca dwa; niczego to nie dowodzi, aby udowodni ć niewymiernośc pierwiastka z dwóch zaczynamy: załóżmy, że jest wymierny, wtedy równy jest jakimś a/b...

@lion137: ale dowody oparte na przesłankach – nazwijmy to – pośrednich w stosunku do pomiarów danego koła mogą być całkiem poprawne. Temu nie przeczę; zresztą nawet w te dowody nie wnikam – zakładam, że są poprawne (pewnie bym ich nie zrozumiał). Ja mam problem ze zrozumieniem tego, jak coś, co można zmierzyć, liczba, którą można zmierzyć, może być określane jako liczba niewymierna.

To jest kolizja w nazewnictwie. Niewymierność nie znaczy, że nie można jej zmierzyć. Ot,cała prawda.

jak coś, co można zmierzyć, może być określane jako liczba niewymierna?

Zauważ, że definicją liczby niewymiernej nie jest taka liczba, która jest niemierzalna, a jedynie taka liczba, której nie można przedstawić w postaci ilorazu liczb całkowitych - nie ma tutaj żadnej wzmianki o mierzalności, stąd Twoje pytanie można by równie dobrze sformułować jako:

jak coś, co można zmierzyć, może być określane jako liczba pierwsza?

... albo

jak coś, co można zmierzyć, może być określane jako liczba dodatnia?

... albo (niemal) cokolwiek innego ;-)

W tym dowodzie nie ma wspomnianych ani średnicy, ani obwodu

Są implicite wyrażone poprzez funkcje trygonometryczne.

Nie mozna zmierzyć dokładnie liczby niewymiernej, np. nie mozna zmierzyć dokładnie przekątnej kwadratu o boku jeden (choć mozna go skonstruować :) ).

BTW pi jest niewymierna, ale ta jej niewymierność jest w pewnym sensie inna niż pierwiastka z 2. Pi jest tzw. liczbą przestępną, tymczasem sqrt(2) jest liczbą algebraiczną. Fakt należenia do zbioru liczb niealgebraicznych wykorzystuje się do tzw. zagadnienia niemożności wykonania rektyfikacji okręgu, a stąd już blisko do niewykonalności kwadratury koła.

nie wiem... po co ten wątek? :D
Powyższy twierdzenia stoją w sprzeczności z moją intuicją, że liczby niewymiernej nie można "zmierzyć" (cokolwiek rozumieć pod pojęciem "mierzenia").
Pi można zmierzyć, tak samo jak pierwiastek kwadratowy z 2 czy 3. Jest to "mierzalne" w świecie materialnym, lecz tylko z pewną dokładnością.

Jeśli chodzi o mierzenie, to pamiętam takie ćwiczenie z polibudy: bierzemy 11 linijek/miarek różnych producentów z zaznaczoną podziałką, dla ułatwienia żeby były z podziałką w systemie metrycznym. Bierzemy pierwszą linijkę z brzegu i zakładamy, że jest to nasza wzorcowa linijka. Następnie porównujemy wzór vs. 10 innych linijek, czyli układamy linijkę wzorcową z kolejną próbą na "zerowej" podziałce i patrzymy jak wypada różnica względem zworca na podziałce 10cm (100mm). W taki sposób można się przekonać, że niektóre linijki mają podziałkę większą (np. 107mm) lub mniejszą (np. 95mm) w porównaniu z przyjętym wzorcem. Zapisujemy różnice, liczymy odchylenie standardowe i wynik jest naszą średnią dokładnością. Można wtedy stwierdzić, że każda linijka ma dokładność np. +/- 0.4mm.
To tylko przykład, ale dobrze ilustruje czym jest mierzenie oraz dokładność. Do tego warto mieć na uwadze tzw. błąd paralaksy, czyli błąd narządu pomiarowego, w tym wypadku oczy.

Liczba wymierna lub niewymierna natomiast jest tylko matematyczną definicją.
Liczby rzeczywiste != świat rzeczywisty. Innymi słowy, masz błędne podstawy.

Patryk27 napisał(a):

jak coś, co można zmierzyć, może być określane jako liczba niewymierna?

Zauważ, że definicją liczby niewymiernej nie jest taka liczba, która jest niemierzalna, a jedynie taka liczba, której nie można przedstawić w postaci ilorazu liczb całkowitych - nie ma tutaj żadnej wzmianki o mierzalności (…)

Pyxis napisał(a):

To jest kolizja w nazewnictwie. Niewymierność nie znaczy, że nie można jej zmierzyć. Ot,cała prawda.

lion137 napisał(a):

Nie mozna zmierzyć dokładnie liczby niewymiernej, np. nie mozna zmierzyć dokładnie przekątnej kwadratu o boku jeden (choć mozna go skonstruować :) ).

trojanus napisał(a):

Liczba wymierna lub niewymierna natomiast jest tylko matematyczną definicją i pomimo tego że obie definicje mieszczą się w zbiorze liczb rzeczywistych.
Liczby rzeczywiste != świat rzeczywisty. Innymi słowy, masz błędne podstawy.

Jak się ma dokładność pomiarów długości średnicy i obwodu do definicji liczby PI?

sugar_hiccup napisał(a):

W tym dowodzie nie ma wspomnianych ani średnicy, ani obwodu

Są implicite wyrażone poprzez funkcje trygonometryczne.

Hm, jeśli uznam, że powinienem, to przejrzę.

Jak się ma dokładność pomiarów długości średnicy i obwodu do definicji liczby PI?

Obyś się nie natknął na zasadę nieoznaczoności Heisenberga...

Żeby była jasność. Nie pytam o to, co można zmierzyć z jaką dokładnością. Chodzi mi o moje intuicyjne rozumienie definicji liczby PI.

Liczbę PI na pewno można zdefiniować na wiele sposobów – jako arbitralną zależność między dwiema innymi liczbami. Zgadzam się, nie mam nic do tego. Dla potrzeb tego wątku, for brevity, przyjmuję wszystkie dowody niezwiązane bezpośrednio z pomiarami na wiarę.

Mój główny problem polega na tym, że kiedy wspomniane dwie liczby są wynikami pomiarów fizycznych wielkości (?), jak obwód i długość średnicy, to co najmniej jedno z nich nie może być całkowite, by PI była niewymierna (według podanej definicji liczby niewymiernej). A nijak nie mogę zrozumieć, jak liczba będąca wynikiem pomiaru może nie móc… yyy… jest niecałkowita.

Dla przykładu: zmierzyliśmy obwód koła na X,Y cm i długość jego średnicy na Z,V cm. Liczba PI w tym względzie będzie X,Y / Z,V. Jeśli potrzebujemy liczb całkowitych, wystarczy przemnożyć przez 10. Mamy więc XY mm oraz ZV mm. Liczba PI w tym względzie będzie XY / ZV…

Gdzie popełniam błąd?

UPDATE: Chyba już wiem, gdzie popełniam błąd. Ale jeszcze muszę to sobie ułożyć w głowie.

Silv napisał(a):

Gdzie popełniam błąd?

Nie wiem gdzie popełniasz błąd, ale z pomiarami ja bym był ostrożny. Wiesz czy materia jest dyskretna czy ciągłą i jaka jest najmniejsza odległość, którą można zmierzyć?

Czy nie jest tak, że w przytoczonej definicji liczby PI z Wikipedii wyrażenia "obwód koła" oraz "długość średnicy koła" powinny być rozumiane jako "obwód koła «idealnego»" oraz "długość średnicy koła «idealnego»"? I że niewymierność liczby PI wynika z tego, że zarówno każdy pomiar, jak i każde koło są różne od idealnego?

Innymi słowy czy dobrze myślę, że liczba PI byłaby niewymierna względem jej definicji jako stosunku długości średnicy do obwodu danego koła dopiero wtedy, gdyby założyć zarówno idealność tego koła, jak i jego pomiarów?

Jak się ma dokładność pomiarów długości średnicy i obwodu do definicji liczby PI?

Nijak się ma. Dokładność pomiaru to jedno, a definicja to drugie. Definicja Pi jest taka jak wymieniona była wcześniej w tym wątku, czyli stosunek obwodu do średnicy.
To tak jakby zapytać jak się ma odczyt prędkości zrobiony przez fotoradar do definicji prędkości. :)

Silv napisał(a):

Czy nie jest tak, że w przytoczonej definicji liczby PI z Wikipedii wyrażenia "obwód koła" oraz "długość średnicy koła" powinny być rozumiane jako "obwód koła «idealnego»" oraz "długość średnicy koła «idealnego»"? I że niewymierność liczby PI wynika z tego, że zarówno każdy pomiar, jak i każde koło są różne od idealnego?

Innymi słowy czy dobrze myślę, że liczba PI byłaby niewymierna względem jej definicji jako stosunku długości średnicy do obwodu danego koła dopiero wtedy, gdyby założyć zarówno idealność tego koła, jak i jego pomiarów?

Mniej więcej, jako obwód koła idealnego; inaczej obwód koła wynosi 2* PI * R, czyli obwód idealnego koła równa się dwa razy promień * <liczba niewymierna PI>.

Silv napisał(a):

Czy nie jest tak, że w przytoczonej definicji liczby PI z Wikipedii wyrażenia "obwód koła" oraz "długość średnicy koła" powinny być rozumiane jako "obwód koła «idealnego»" oraz "długość średnicy koła «idealnego»"? I że niewymierność liczby PI wynika z tego, że zarówno każdy pomiar, jak i każde koło są różne od idealnego?

Idziesz dobrym tropem, tak jak onegdaj to robili pitagorejczycy...
Jeśli mam być bardzo, bardzo precyzyjny, to dobrze jest zacząć od definicji okręgu, a nie koła, bo koło to okrąg, który ma płaszczyznę. :]
Okrąg natomiast jest to zbiór punktów oddalonych od danego punktu (środka) o daną odległość. Teraz się przyjmuje, że powinno to być w geometrii Euklidesowej, pewnie stąd to koło się wzięło w obecnej definicji, bo zawiera w sobie zarówno okrąg, jak i to że płaszczyzna musi być płaska w sensie Euklidesowa :D

Historycznie to tak w zasadzie robili: znali definicję okręgu, rzeczywiście to pewnie mieli koło od wozu i zaczęli sprawdzać definicję. No i zaczęli mierzyć, jak to się dzieje, że mając koło o średnicy 1, wychodziło im, że obwód jest nieco większy niż 3? A "trójka" to była w czasach klasycznych liczba idealna - boska, a tutaj więcej niż 3. I wtedy mieli tzw. mindfuck.

Nie mam bladego pojęcia jak to inaczej wytłumaczyć. Okrąg czy tam koło to są definicje. Niewymierność liczby Pi to jest efekt uboczny sprawdzania definicji.

Silv napisał(a):

A nijak nie mogę zrozumieć, jak liczba będąca wynikiem pomiaru może nie móc… yyy… jest niecałkowita.

W sensie, że nie można zmierzyć czegoś, co ma np. 2,5 cm?

Liczba będąca wynikiem pomiaru zawsze będzie obarczona pewną niedokładnością. Prawdziwa wartość będzie inna.

Dla przykładu: zmierzyliśmy obwód koła na X,Y cm i długość jego średnicy na Z,V cm. Liczba PI w tym względzie będzie X,Y / Z,V. Jeśli potrzebujemy liczb całkowitych, wystarczy przemnożyć przez 10. Mamy więc XY mm oraz ZV mm. Liczba PI w tym względzie będzie XY / ZV…

Ok, to podaj jakieś przykładowe wartości X,Y oraz Z,V tak, żeby wyszedł z tego okrąg.

I że niewymierność liczby PI wynika z tego, że zarówno każdy pomiar, jak i każde koło są różne od idealnego?

Nie, bo PI istnieje niezależnie od tego, czy ktokolwiek kiedykolwiek narysował jakikolwiek okrąg, i czy ktokolwiek kiedykolwiek jakikolwiek okrąg mierzył.
Jej niewymierność wynika z tego, że nie jest możliwe aby jednocześnie średnica i obwód były wymierne.

somekind napisał(a):

Dla przykładu: zmierzyliśmy obwód koła na X,Y cm i długość jego średnicy na Z,V cm. Liczba PI w tym względzie będzie X,Y / Z,V. Jeśli potrzebujemy liczb całkowitych, wystarczy przemnożyć przez 10. Mamy więc XY mm oraz ZV mm. Liczba PI w tym względzie będzie XY / ZV…

Ok, to podaj jakieś przykładowe wartości X,Y oraz Z,V tak, żeby wyszedł z tego okrąg.

Właśnie się zreflektowałem potem, że nie da rady dla dowolnych wartości – toteż mnie oświeciło i napisałem post, który potem cytujesz. ;)

I że niewymierność liczby PI wynika z tego, że zarówno każdy pomiar, jak i każde koło są różne od idealnego?

Nie, bo PI istnieje niezależnie od tego, czy ktokolwiek kiedykolwiek narysował jakikolwiek okrąg, i czy ktokolwiek kiedykolwiek jakikolwiek okrąg mierzył.
Jej niewymierność wynika z tego, że nie jest możliwe aby jednocześnie średnica i obwód były wymierne.

Tak właśnie, dziękuję; napisałem omyłkowo odwrotnie w tym zdaniu.

Koło idealne, to po prostu koło. Każde inne "koło" nim nie jest. Koło idealne o promieniu r to zbiór punktów odległych o maksymalnie r od pewnego punktu. Gdy obierzesz dowolną inną definicję, dowolne inne twierdzenie (np. o niewymierności stosunku obwodu do promienia) może przestać być prawdziwe.

Przykładowo, narysowanie koła i zmierzenie promienia i obwodu jest swoistą zmianą definicji. Podobnie, skąd wiesz, że zmierzony linijką promień jest tak naprawdę równy 1.414213562 cm, a nie sqrt(2)? Otóż nie wiesz tego. Zbiór liczb rzeczywistych jest gęsty w liczbach rzeczywistych (https://pl.wikipedia.org/wiki/Zbi%C3%B3r_g%C4%99sty), toteż aproksymowanie liczby rzeczywistej, i stwierdzanie czy jest wymierna czy nie, traci jakikolwiek sens.

Obwód okręgu jednostkowego jest równy 8 (w metryce Czybyszewa). Więc PI = 4 i jest wymierne.

interpretacja geometryczna PI https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/4/4a/Pi-unrolled_slow.gif