wyliczyć średnią prędkość - harmoniczną (ćwiczenie z trygonometrii dla zaawansowanych).

wil

2018-06-11 21:34

wil2018-06-11 21:34

Rejestracja:około 19 lat
Ostatnio:ponad 6 lat

Mamy prędkość w funkcji kierunku - f:

u(f) = sqrt(1+v^2 - 2v^2sinf^2 - 2vcosf sqrt(1-v^2sinf^2))

jaka jest średnia dwukierunkowa, znaczy tam i z powrotem, czyli u(f) i u(f+180)?

Wzór na harmoniczną jest taki:
h = 2ab/(a+b), czyli G^2/A;
gdzie G i A to średnie: geometryczna i arytmetyczna.

u_śr(f) = ?
powodzenia. :)

Dodam jeszcze, że to nie są przypadkowe wzory, lecz całkiem realne:
dotyczą ruchomego obiektu, np. samolotu, który podczas lotu z prędkością: v emituje fale dźwiękowe,
wówczas one biegną właśnie z prędkością: u(f), względem tego samolotu.

Światła też to dotyczy, oczywiście, pomijając drobne niuanse.

math

edytowany 1x, ostatnio: wil 2018-06-11 23:00

maciekniewielki

2018-06-11 23:39

maciekniewielki2018-06-11 23:39

Rejestracja:ponad 8 lat
Ostatnio:dzień
Lokalizacja:Warszawa
Postów:36

Jeśli v to prędkość, to dodawanie 1 do kwadratu prędkości nie ma sensu fizycznego. Jednostki się nie zgadzają.
@Edit: Chyba, że v nie ma jednostki, bo jest na przykład podane jako ułamek prędkości dźwięku.

edytowany 1x, ostatnio: maciekniewielki 2018-06-12 08:09

wil

2018-06-12 15:41

wil2018-06-12 15:41

Rejestracja:około 19 lat
Ostatnio:ponad 6 lat

Dokładnie tak, v jest tu faktycznie: v/c, czyli normalizujemy sobie prędkość fali: c = 1, co upraszcza wzory.

Przykładowo:
$\Large u(f=0) = \sqrt{1+v^2-2v}=\sqrt{(1-v)^2} = 1-v$

co jest oczywiście tym samym co: c-v, w wersji bez normalizacji.
(1-v/c) c = c-v

OK. Może pokaże jak wygląda ta strasznie skomplikowana funkcja: u(f), dla v = 0.7
http://www.wolframalpha.com/input/?i=polar+plot:+r%3Dsqrt(1%2B0.7%5E2-2(0.7*sin(f))%5E2-2*0.7*cos(f)*sqrt(1-(0.7*sin(f))%5E2))
:)

edytowany 5x, ostatnio: wil 2018-06-12 17:30

maciekniewielki

2018-06-12 19:05

maciekniewielki2018-06-12 19:05

Rejestracja:ponad 8 lat
Ostatnio:dzień
Lokalizacja:Warszawa
Postów:36

Rozumiem, że wystarczy wstawić u(f) i u(f+180) do wzoru na średnią harmoniczną?

Jeśli chodzi o część trygonometryczną, to można sprawdzić jak sin^2(f) oraz cos(f) transformują się po przejściu f->f+180.
$(sin(f+180))^{2}=(-sin(-f-180))^{2}=(-sin(180-f))^{2}=(-sin(f))^{2}=(sin(f))^{2}$
$cos(f+180)=cos(-180-f)=-cos(-f)=-cos(f)$
Z tego wynika, że u(f+180) różni się od u(f) jedynie minusem przy cosinusie. Co po podstawieniu:
$a=1+v^{2} - 2v^{2}sin^{2}(f)$
$b=2vcos(f) \sqrt{1-v^{2}sin^{2}(f)}$
daje nam
$u(f)=\sqrt{a-b}, \qquad \qquad u(f+180)=\sqrt{a+b}$
Podstawiając do wzoru na średnią:
$u_{sr}(f) = 2\frac{\sqrt{a-b}\sqrt{a+b}}{\sqrt{a+b}+\sqrt{a-b}}= 2\frac{\sqrt{a^{2}-b^{2}}} {\sqrt{a+b}+\sqrt{a-b}}= 2\frac{\sqrt{a^{2}-b^{2}}} {\sqrt{a+b}+\sqrt{a-b}}\frac{\sqrt{a+b}-\sqrt{a-b}}{\sqrt{a+b}-\sqrt{a-b}}= 2\frac{\sqrt{a^{2}-b^{2}}(\sqrt{a+b}-\sqrt{a-b})} {a+b-a+b}= 2\frac{\sqrt{a^{2}-b^{2}}(\sqrt{a+b}-\sqrt{a-b})} {2b}= \frac{\sqrt{a^{2}-b^{2}}(\sqrt{a+b}-\sqrt{a-b})} {b}$

Tego ostatniego nie da się już chyba za bardzo uprościć, pomijając pozbycie się a,b i wymnożenie czego się da.

wil

2018-06-12 20:08

wil2018-06-12 20:08

Rejestracja:około 19 lat
Ostatnio:ponad 6 lat

Skecz polega właśnie na tym, że to się ekstremalnie - zupełnie uproszcza!

Wynik mieści się w.. zaledwie kilku znakach.

Wolfram nie potrafi tego wyliczyć. :)

$\sqrt{1+v^2 - 2v^2\sin(f)^2 - 2v\cos(f) \sqrt{1-v^2sin(f)^2}} + \sqrt{1+v^2 - 2v^2\sin(f)^2 + 2v\cos(f) \sqrt{1-v^2sin(f)^2}} = ?$

edytowany 2x, ostatnio: wil 2018-06-12 20:12

maciekniewielki 2018-06-12 20:27

A to ciekawe. Już biorę się za myślenie :)

maciekniewielki

2018-06-12 21:09

maciekniewielki2018-06-12 21:09

Rejestracja:ponad 8 lat
Ostatnio:dzień
Lokalizacja:Warszawa
Postów:36

Kolejnym krokiem będzie zamiana sinusów na cosinusy z jedynki tryg. (przykładowo dla wyrażenia z plusem przy cos, dla drugiego analogicznie):
$ \sqrt{1 + v^{2} - 2 v^{2}(1 - cos^{2}(f)) + 2vcos(f) \sqrt{1 - v^{2}(1 - cos^{2}(f)) }}= \sqrt{1 - v^{2} + 2 v^{2}cos^{2}(f) + 2vcos(f) \sqrt{1 - v^{2} + v^{2}cos^{2}(f) }} $
W tym momencie zauważyłem, że jest to wzór skróconego mnożenia:

$\sqrt{1 - v^{2} + 2 v^{2}cos^{2}(f) + 2vcos(f) \sqrt{1 - v^{2} + v^{2}cos^{2}(f) }} = \sqrt{ (vcos(f) + \sqrt{1 - v^{2} + v^{2}cos^{2}(f) })^{2} } = \sqrt{(c+d)^{2}}$ gdzie $c=vcos(f), \qquad \qquad d=\sqrt{1 - v^{2} + v^{2}cos^{2}(f) }$ Przy czym d >= c. Z tego wynika, że Twoja suma jest równa: $\sqrt{(c+d)^{2}} + \sqrt{(d-c)^{2}} = 2d = 2\sqrt{1 - v^{2} + v^{2}cos^{2}(f) }$ I dzięki temu mam mianownik. Z kolei licznik to: $2(d-c)(d+c) = 2(d^{2} - c^{2}) = 2(1 - v^{2} + v^{2}cos^{2}(f) - v^{2}cos^{2}(f)) = 2(1 - v^{2})$

Więc wynik końcowy można zapisać w postaci:
$ u_{sr} = \frac{ 1 - v^{2} }{ \sqrt{1 - v^{2} + v^{2}cos^{2}(f) } } = \frac{ 1 - v^{2} }{ \sqrt{1 - v^{2}sin^{2}(f) } } $

Mam nadzieję, że się nie pomyliłem. Tutaj to już na pewno nie ma nic do uproszczenia :)

edytowany 2x, ostatnio: maciekniewielki 2018-06-12 21:41

wil

2018-06-12 22:04

wil2018-06-12 22:04

Rejestracja:około 19 lat
Ostatnio:ponad 6 lat

Bardzo dobrze - gratulacje!
Pozostaje to narysować, aby zobaczyć co reprezentuje ten wynik...

r = 1-v^2 / (1-v^2sinf^2)^0.5 => r^2 = (1-v^2)^2 / (1-v^2sinf^2);
r^2 = x^2 + y^2; sinf = y/r, itd.

https://www.wolframalpha.com/input/?i=polar+plot:+r%3D(1-0.8%5E2)%2F(1-(0.8*sin(f))%5E2)%5E0.5

wil

2018-06-13 19:25

wil2018-06-13 19:25

Rejestracja:około 19 lat
Ostatnio:ponad 6 lat

Reasumując: wynik tej prostej wyliczanki jest faktycznie podstawą całej Teorii Względności. :)

Liczba odpowiedzi na stronę

Treść *

Treść

Podgląd

Kliknij, aby dodać treść...

Kliknij, aby dodać załącznik lub wklej ze schowka.

Instrukcja obsługi Markdown

Pomoc 1.18.8

Typografia

Edytor obsługuje składnie Markdown, w której pojedynczy akcent *kursywa* oraz _kursywa_ to pochylenie. Z kolei podwójny akcent **pogrubienie** oraz __pogrubienie__ to pogrubienie. Dodanie znaczników ~~strike~~ to przekreślenie.

Możesz dodać formatowanie komendami , , oraz .

Ponieważ dekoracja podkreślenia jest przeznaczona na linki, markdown nie zawiera specjalnej składni dla podkreślenia. Dlatego by dodać podkreślenie, użyj underline.

Komendy formatujące reagują na skróty klawiszowe: Ctrl+B, Ctrl+I, Ctrl+U oraz Ctrl+S.

Linki

By dodać link w edytorze użyj komendy lub użyj składni [title](link). URL umieszczony w linku lub nawet URL umieszczony bezpośrednio w tekście będzie aktywny i klikalny.

Jeżeli chcesz, możesz samodzielnie dodać link: <a href="link">title</a>.

Wewnętrzne odnośniki

Możesz umieścić odnośnik do wewnętrznej podstrony, używając następującej składni: [[Delphi/Kompendium]] lub [[Delphi/Kompendium|kliknij, aby przejść do kompendium]]. Odnośniki mogą prowadzić do Forum 4programmers.net lub np. do Kompendium.

Wspomnienia użytkowników

By wspomnieć użytkownika forum, wpisz w formularzu znak @. Zobaczysz okienko samouzupełniające nazwy użytkowników. Samouzupełnienie dobierze odpowiedni format wspomnienia, zależnie od tego czy w nazwie użytkownika znajduje się spacja.

Znaczniki HTML

Dozwolone jest używanie niektórych znaczników HTML: <a>, , , <kbd>, <del>, , <dfn>, <pre>, <blockquote>, <hr/>, ,  oraz <img/>.

Skróty klawiszowe

Dodaj kombinację klawiszy komendą notacji klawiszy lub skrótem klawiszowym Alt+K.

Reprezentuj kombinacje klawiszowe używając taga <kbd>. Oddziel od siebie klawisze znakiem plus, np <kbd>Alt+Tab</kbd>.

Indeks górny oraz dolny

Przykład: wpisując H2O i m2 otrzymasz: H₂O i m².

Składnia Tex

By precyzyjnie wyrazić działanie matematyczne, użyj składni Tex.

<tex>arcctg(x) = argtan(\frac{1}{x}) = arcsin(\frac{1}{\sqrt{1+x^2}})</tex>

Kod źródłowy

Krótkie fragmenty kodu

Wszelkie jednolinijkowe instrukcje języka programowania powinny być zawarte pomiędzy obróconymi apostrofami: `kod instrukcji` lub ``console.log(`string`);``.

Kod wielolinijkowy

Dodaj fragment kodu komendą . Fragmenty kodu zajmujące całą lub więcej linijek powinny być umieszczone w wielolinijkowym fragmencie kodu. Znaczniki ``` lub ~~~ umożliwiają kolorowanie różnych języków programowania. Możemy nadać nazwę języka programowania używając auto-uzupełnienia, kod został pokolorowany używając konkretnych ustawień kolorowania składni:

```javascript document.write('Hello World'); ```

Możesz zaznaczyć również już wklejony kod w edytorze, i użyć komendy by zamienić go w kod. Użyj kombinacji Ctrl+`, by dodać fragment kodu bez oznaczników języka.

Tabelki

Dodaj przykładową tabelkę używając komendy . Przykładowa tabelka składa się z dwóch kolumn, nagłówka i jednego wiersza.

Wygeneruj tabelkę na podstawie szablonu. Oddziel komórki separatorem ; lub |, a następnie zaznacz szablonu.

nazwisko;dziedzina;odkrycie
Pitagoras;mathematics;Pythagorean Theorem
Albert Einstein;physics;General Relativity
Marie Curie, Pierre Curie;chemistry;Radium, Polonium

Użyj komendy by zamienić zaznaczony szablon na tabelkę Markdown.

Lista uporządkowana i nieuporządkowana

Możliwe jest tworzenie listy numerowanych oraz wypunktowanych. Wystarczy, że pierwszym znakiem linii będzie * lub - dla listy nieuporządkowanej oraz 1. dla listy uporządkowanej.

Użyj komendy by dodać listę uporządkowaną.

1. Lista numerowana
2. Lista numerowana

Użyj komendy by dodać listę nieuporządkowaną.

* Lista wypunktowana
* Lista wypunktowana
** Lista wypunktowana (drugi poziom)

Składnia Markdown

Edytor obsługuje składnię Markdown, która składa się ze znaków specjalnych. Dostępne komendy, jak formatowanie , dodanie tabelki lub fragmentu kodu są w pewnym sensie świadome otaczającej jej składni, i postarają się unikać uszkodzenia jej.

Dla przykładu, używając tylko dostępnych komend, nie możemy dodać formatowania pogrubienia do kodu wielolinijkowego, albo dodać listy do tabelki - mogłoby to doprowadzić do uszkodzenia składni.

W pewnych odosobnionych przypadkach brak nowej linii przed elementami markdown również mógłby uszkodzić składnie, dlatego edytor dodaje brakujące nowe linie. Dla przykładu, dodanie formatowania pochylenia zaraz po tabelce, mogłoby zostać błędne zinterpretowane, więc edytor doda oddzielającą nową linię pomiędzy tabelką, a pochyleniem.

Skróty klawiszowe

Skróty formatujące, kiedy w edytorze znajduje się pojedynczy kursor, wstawiają sformatowany tekst przykładowy. Jeśli w edytorze znajduje się zaznaczenie (słowo, linijka, paragraf), wtedy zaznaczenie zostaje sformatowane.

Ctrl+B - dodaj pogrubienie lub pogrub zaznaczenie
Ctrl+I - dodaj pochylenie lub pochyl zaznaczenie
Ctrl+U - dodaj podkreślenie lub podkreśl zaznaczenie
Ctrl+S - dodaj przekreślenie lub przekreśl zaznaczenie

Notacja Klawiszy

Alt+K - dodaj notację klawiszy

Fragment kodu bez oznacznika

Alt+C - dodaj pusty fragment kodu

Skróty operujące na kodzie i linijkach:

Alt+L - zaznaczenie całej linii
Alt+, Alt+ - przeniesienie linijki w której znajduje się kursor w górę/dół.
Tab/⌘+] - dodaj wcięcie (wcięcie w prawo)
Shit+Tab/⌘+[ - usunięcie wcięcia (wycięcie w lewo)

Dodawanie postów:

Ctrl+Enter - dodaj post
⌘+Enter - dodaj post (MacOS)

wyliczyć średnią prędkość - harmoniczną (ćwiczenie z trygonometrii dla zaawansowanych).

u(f) = sqrt(1+v^2 - 2v^2sinf^2 - 2vcosf sqrt(1-v^2sinf^2))

Smileys & People

Animals & Nature

Food & Drink

Travel & Places

Activities

Objects

Symbols

Typografia

Linki

Wewnętrzne odnośniki

Wspomnienia użytkowników

Znaczniki HTML

Skróty klawiszowe

Indeks górny oraz dolny

Składnia Tex

Kod źródłowy

Krótkie fragmenty kodu

Kod wielolinijkowy

Tabelki

Lista uporządkowana i nieuporządkowana

Składnia Markdown

Skróty klawiszowe