Przekształcenie kwadratu w dowolną "plamę"

Cześć.
To pytanie odnosi się do mojego wcześniejszego o standard definicji fontów, lecz jest całkiem odmienne, więc pozwoliłem sobie zadać je w osobnym temacie. Sprawa - jak podejrzewam - nie jest banalna, a wręcz mocno skomplikowana.
Potrzebuję dowiedzieć się, czy są jakieś funkcje, które pozwalają przekształcić np. kwadrat w dowolną figurę na płaszczyźnie, której granice byłyby wyznaczone przez cykl łączonych krzywych Bezier'a - chodzi mi o cały kwadrat z wnętrzem.
Podejrzewam, że temat zahacza o przestrzenie topologiczne.

Byłoby też wskazane, aby funkcje takie zachowywały "gęstość". Mam na myśli to, iż 1/4 powierzchni kwadratu powinna być przekształcona w dokładnie 1/4 powierzchni "plamy".